广义逆矩阵

当且仅当一个矩阵为非奇异矩阵时才有逆矩阵，逆矩阵可以推广到非方阵的形式，即广义逆矩阵。

对于矩阵 Am∗n,若有矩阵 Xn∗m ，使得

AXA=A
则称， X为 A的广义逆矩阵，记做X=A−

对于矩阵 Am∗n,若有矩阵 Xn∗m ，使得

AXA=AXAX=A(AX)T=AX(XA)T=XA
则称， X为 A的PM广义逆或伪逆，记做 X=A+

矩阵 Am∗n的PM广义逆是存在且唯一的，

A+=AT(ATAAT)−AT

PM广义逆是广义逆的一种特殊形式。

Am∗n，m<n,AAr=Im, Ar为右逆，
一个特殊的右逆：A+r=AT(AAT)−1，
若 Wnn是正定矩阵，加权右广义逆为：A+r=W−1AT(AW−1AT)−1

Am∗n，m>n,AAr=In, Ar为左逆,
一个特殊的左逆：A+r=(AAT)−1AT,
若 Wmm是正定矩阵，加权右广义逆为：A+r=(AWAT)−1ATW

总结

以上是生活随笔为你收集整理的广义逆矩阵的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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