【数据挖掘】神经网络 后向传播算法( 向后传播误差 | 输出层误差公式 | 隐藏层误差公式 | 单元连接权值更新公式 | 单元偏置更新公式 | 反向传播 | 损失函数 | 误差平方和 | 交叉熵 )

文章目录

• • • • I . 向后传播误差 简介
      • II . 输出层误差计算公式
      • III . 隐藏层层误差计算公式
      • IV . 使用误差更新 连接权值
      • V . 使用误差更新 单元偏置
      • VI . 反向传播 过程
      • VII . 损失函数 简介
      • VIII . 损失函数
      • IX . 损失函数 举例
      • X . 损失函数 优化过程

I . 向后传播误差 简介

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1 . 后向传播误差 : 计算每层每个单元的误差 , 根据该误差更新 权值 和 偏置 设置 ;

2 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;

II . 输出层误差计算公式

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输出层误差计算 :

① 输出层单元 $j$ , 误差计算公式 :

$$Er{r}_j=O_j(1-O_j)(T_j-O_j)$$

$O_j$ 是单元 $j$ 的输出 ;

$T_j$ 是样本分类的真实的属性值 , 取值 0 或 1 , 输出层每个单元的节点输出都是 0 或 1 , 如果分类有多个离散值 , 那么输出层使用多个节点表示这些分类 ;

② 公式来源 : 该公式来源于 损失函数 , 对损失函数进行求导 ;

III . 隐藏层层误差计算公式

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隐藏层误差计算 :

$$Er{r}_j=O_j(1-O_j)(\sum _{k=1}^{n}Er{r}_k{w}_{jk})$$

$O_j$ 是本层单元 $j$ 的输出 ;

$Er{r}_k$ 是下一层第 $k$ 个单元的误差 ;

$w_{jk}$ 是本单元 与 下一层第 $k$ 个单元连接的 权值 ;

${\sum }_{k=1}^{n}Er{r}_k{w}_{jk}$ 是一个线性组合 , 本层的 $j$ 单元 , 连接下一层的 $n$ 个单元 , 计算下层每个节点的误差 $Er{r}_k$ , 乘以连接的权值 $w_{jk}$ , 再将多个下层节点的 $Er{r}_k{w}_{jk}$ 计算值累加 ;

IV . 使用误差更新 连接权值

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1 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;

2 . 权值更新公式 : 修改 单元 $i$ 和 单元 $j$ 连接的权值 , 注意连接方向是 单元 $i$ 连接到单元 $j$ , $i$ 是 $j$ 的前一层 ;

$$\Delta w_{ij}=(l)Er{r}_j{O}_i$$

$$w_{ij}^{\prime }=w_{ij}+\Delta w_{ij}$$

$\Delta w_{ij}$ 是 单元 $i$ 和 单元 $j$ 的连接的权值的改变值 ;

$l$ 是学习率 , 一般是 $0.8$ , $0.9$ 等 $(0,1)$ 区间内的数值 ;

$Er{r}_j$ 是单元 $j$ 的误差 ;

$O_i$ 表示 单元 $i$ 的输出 ;

$Er{r}_j{O}_i$ 是通过求导得出的梯度 ;

$w_{ij}^{\prime }$ 表示新的权值 ;

$w_{ij}$ 表示老的权值 ;

3 . 连接权值更新总结 : 该公式是梯度公式 , 后向传播算法是梯度下降算法 , 其权值更新是 旧的权值 , 加上权值的改变 , 计算出新的连接权值 ;

V . 使用误差更新 单元偏置

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1 . 计算误差的目的 : 使用计算出来的误差 , 更新单元连接的 权值 , 和 单元 本身的偏置 参数 , 用于实时反映出前向传播输入的误差 ;

2 . 偏置更新公式 : 修改 单元 $j$ 的偏置 ;

$$\Delta {\theta }_j=(l)Er{r}_j$$

$${\theta }^{\prime }={\theta }_j+\Delta {\theta }_j$$

$\Delta {\theta }_j$ 是偏置的改变 ;

$l$ 是学习率 , 一般是 $0.8$ , $0.9$ 等 $(0,1)$ 区间内的数值 ;

$Er{r}_j$ 是单元 $j$ 的误差 ;

${\theta }^{\prime }$ 是新的偏置 ;

$\theta$ 是老的偏置 ;

3 . 偏置更新总结 : 当前节点的误差 , 乘以学习率 , 就是偏置的改变 ; 旧的偏置值 , 加上偏置改变 , 可计算出新的偏置值 ;

VI . 反向传播 过程

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1 . 权值 偏置 更新操作 : 先计算误差 , 然后根据误差计算 权值 和 偏置的改变值 , 再将原来的 权值 和 偏置 值 加上对应的改变值 , 计算出新的权值和偏置值 ;

2 . 反向传播的过程 : 将误差从后向前传播 , 根据误差 , 从后到前依次修改权值和偏置值 ;

① 向后传播误差本质 : 使用梯度下降方法 , 优化损失函数 , 使损失函数取最小值 , 在这个过程中 , 不停地迭代修改 单元连接权值 , 和 每个单元的偏置 ;

② $3$ 种梯度下降方法 : 随机梯度下降 , 批量梯度下降 , 小批量梯度下降方法 ;

③ 损失函数 : 类似于评分函数 ; 如 误差平方和 ;

④ 两个核心 : 首先 , 采用什么样的损失函数 , 其次 , 如何进行迭代修改 权值和偏置 ;

VII . 损失函数 简介

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1 . 损失函数 作用 :

① 训练输出 : 神经网络 学习训练样本有一个输出输出 ;

② 样本实际值对应输出 : 数据集样本的真正的属性值对应的输出 , $0$ 或 $1$ ;

③ 引入损失函数 : 使用损失函数 计算 上述 训练输出 和 样本实际值对应输出 的差别 ;

④ 损失函数最小值 : 训练输出 和 样本实际值对应输出 的差别越小越好 , 因此损失函数进行优化时 , 损失函数的值越小越好 ;

2 . 损失函数优化 :

① 损失函数 优化过程 : 在优化使损失函数取最小值的过程 , 就是使对应的 单元连接权值 , 和 单元的偏置 , 等参数不断优化的过程 ;

② 损失函数最小值 与 最佳参数 : 最终损失函数最小值的状态的 权值 和 偏置就是 学习出的最佳参数值 ;

3 . 损失函数本质 : 损失函数 最小值 计算过程 , 就是通过 梯度下降方法 , 逐步迭代获取 最佳 权值 与 偏置过程 ;

VIII . 损失函数

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1 . 损失函数作用 : 度量 预测结果 与 实际结果 差异 ;

① 神经网络学习训练目的 : 使 损失函数 取值最小 ;

② 损失函数要求 : 预测结果越好 , 损失越小 ;

2 . 损失函数选择 :

① 分布比较 : 比较的两个属性是 分布 , 那么使用 交叉熵 损失函数 ;

② 数值比较 : 如果是两个 数值属性 之间比较 , 使用 误差平方和 损失函数 ;

IX . 损失函数 举例

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1 . 样本示例 :

① 样本个数 : $n$ 个 ;

② 样本属性 : 取值有两种 , $0$ 或 $1$ , 即样本的属性值只能从 $\{0,1\}$ 集合中取值 ;

③ 实际属性值 : $y_i$ 为实际属性值 , 并且有 $y_i\in \{0,1\}$ ;

④ 预测属性值 : $x_i$ 为预测属性值 , 并且有 $x_i\in [0,1]$ , 在 误差平方和 ( Mean squared error ) 损失函数中 , $x_i$ 取值范围可以是全体实数 ;

2 . 误差平方和 ( 均方误差 Mean Squared Error ) 损失函数

误差平方和公式 : 误差平方和 , 又叫均方误差 , 英文全称 Mean squared error , 简称 MSE ;

$$误差平方和=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2$$

预测属性 减去 实际属性 得到差值 , 将该差值平方 , 目的是去掉差值的符号 ( 正负号 ) , 得到误差平方 , 再将 $n$ 个误差平方加起来 , 得到平方和 , 然后除以 $n$ 取平均值 , 即得到 $n$ 个样本的 平均的 误差平方 , 因此叫做 均方误差 , 又叫误差平方和 ;

3 . 交叉熵 ( Cross Entropy ) 损失函数

交叉熵公式 :

$$交叉熵=-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[y_i\times log(x_i)+(1-y_i)\times log(1-x_i)]$$

该 交叉熵公式 通常用于比较分布之间的差别 ;

X . 损失函数 优化过程

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1 . 损失函数作用 : 损失函数的目的是为神经网络优化 每个连接的 权值 和 每个单元的 偏置 , 使数据集的损失函数最小 ;

2 . 损失函数优化注意事项 :

① 参数个数 : 参数数量很多 , 搜索算法空间很大 , 可能有百万级 ;

② 参数取值 : 参数取值范围很广 , 取值范围从 负无穷 到 正无穷 ;

③ 损失函数复杂 : 损失函数 与 参数 的关系很复杂 ;

④ 计算能力 : 对于海量的大数据 , 训练时不能一次性训练所有的数据 , 计算能力也是有限制的 ;

⑤ 过拟合问题 : 训练集上损失函数达到最小值 , 在测试模型时 , 不一定能得到该结果 ;

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总结

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