文章目录

• 一、线性规划示例
• 二、转化成标准形式
• 三、初始基可行解
• 四、列出单纯形表
• 五、计算检验数
• 六、选择入基变量与出基变量
• 七、第一次迭代 : 列出单纯形表

一、线性规划示例

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线性规划示例 : 使用单纯形法求解下面的线性规划 ;

$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3\\ \\ s.t\{\begin{array}{ll}2x_1-3x_2+2x_3\le 15& \\ & \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3\le 20& \\ & \\ x_j\ge 0& (j=1,2,3)\end{array}\end{array}$$

二、转化成标准形式

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首先将现行规划转化成标准形式 :

参考 【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) 线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化顺序说明 博客 , 先处理变量约束 , 再将不等式转为等式 , 最后更新目标函数 ;

1 . 处理约束变量 : 所有的约束变量都大于等于 $0$ , 这里无需处理 ;

2 . 将不等式转为等式 : 两个不等式都是小于等于不等式 , 在左侧加入松弛变量即可 ;

① 添加松弛变量 : 上述两个不等式 $\{\begin{array}{l}2x_1-3x_2+2x_3\le 15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3\le 20\end{array}$ , 在左侧分别添加 $x_4,x_5$ 松弛变量 ;

② 最终结果 : 转化后的结果是 $\{\begin{array}{l}2x_1-3x_2+2x_3+x_4=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}$

3 . 处理目标函数取最大值 : 目标函数就是取最大值 , 无需处理 ;

4 . 最终的标准形结果是 :

$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3+0x_4+0x_5\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}2x_1-3x_2+2x_3+x_4+0x_5=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+0x_4+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

三、初始基可行解

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找初始基可行解 :

① 查找单位阵 : 该线性规划标准形的系数矩阵中 , $x_4,x_5$ 的系数矩阵是 $\left(\begin{array}{c}10\\ 01\end{array}\right)$ , 该矩阵是单位阵 ;

② 可行基 : 选择该矩阵作为可行基 ;

③ 初始基可行解 : 其对应的解是基可行解 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 15\\ 20\end{array}\right)$ ;

四、列出单纯形表

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$$\begin{array}{l}maxZ=x_1+2x_2+x_3+0x_4+0x_5\\ \\ s.t\{\begin{array}{l}2x_1-3x_2+2x_3+x_4+0x_5=15\\ \\ \frac{1}{3}{x}_1+x_2+5x_3+0x_4+x_5=20\\ \\ x_j\ge 0(j=1,2,3,4,5)\end{array}\end{array}$$

$c_j$$c_j$$1$$2$$1$$0$$0$

$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	${\theta }_i$
$0$ ( 目标函数 $x_4$ 系数 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$2$	$-1$	$2$	$1$	$0$	$-$
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$20$	$\frac{1}{3}$	$1$	$5$	$0$	$1$	$20$
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$2$ ( ${\sigma }_2$ )	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$

五、计算检验数

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计算非基变量的检验数 :

单个检验数计算公式 : ${\sigma }_j=c_j-\sum c_i{a}_{ij}$ , 其中 $c_j$ 是对应目标函数非基变量系数 , $c_i$ 是目标函数中基变量系数 , $a_{ij}$ 是系数矩阵中对应的 $x_j$ 非基变量列向量 ;

① ${\sigma }_1$ 检验数计算 : ${\sigma }_1=1-(0\times 2+0\times \frac{1}{3})=1$

② ${\sigma }_2$ 检验数计算 : ${\sigma }_2=2-(0\times (-1)+0\times 1)=2$

③ ${\sigma }_{1}3$ 检验数计算 : ${\sigma }_3=1-(0\times 2+0\times 5)=1$

六、选择入基变量与出基变量

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入基变量选择 : 选择检验数 ${\sigma }_j$ 较大的非基变量作为入基变量 , 即 $x_2$ ;

出基变量是根据 $\theta$ 值来选择的 , 选择 $\theta$ 值较小的值对应的基变量作为出基变量 ;

出基变量选择 : 常数列 $b=\left(\begin{array}{c}15\\ 20\end{array}\right)$ , 分别除以除以入基变量 $x_2$ 大于 $0$ 的系数列 $\left(\begin{array}{c}-1\\ \\ 1\end{array}\right)$ , 计算过程如下 $\left(\begin{array}{c}系数小于0不计算\\ \\ \frac{20}{1}\end{array}\right)$ , 得出结果是 $\left(\begin{array}{c}无效值\\ \\ 20\end{array}\right)$ , 如果系数小于等于 $0$ , 该值就是无效值 , 默认为无穷大 , 不进行比较 , 选择 $20$ 对应的基变量作为出基变量 , 查看该最小值对应的变量是 $x_5$ , 选择该 $x_5$ 变量作为出基变量 ;

七、第一次迭代 : 列出单纯形表

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上述已经得到 $x_2$ 作为入基变量 , 由非基变量转为基变量 , $x_5$ 作为出基变量 , 由基变量转为非基变量 ; 使用 $x_2$ , 替换基变量中的 $x_5$ 的位置 ;

基变量为 $x_4,x_2$ , 注意顺序不要写反 ;

$c_j$$c_j$$1$$2$$1$$0$$0$

$C_B$ 基变量系数 (目标函数)	基变量	常数 $b$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	${\theta }_i$
$0$ ( 目标函数 $x_4$ 系数 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$2$	$-1$	$2$	$1$	$0$	$-$ (${\theta }_4$)
$0$ ( 目标函数 $x_5$ 系数 $c_5$)	$x_5$	$20$	$\frac{1}{3}$	$1$	$5$	$0$	$1$	$20$ ( ${\theta }_5$ )
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$2$ ( ${\sigma }_2$ )	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$0$
第一次迭代	–	–	–	–	–	–	–	–
$0$ ( 目标函数 $x_4$ 系数 $c_4$ )	$x_4$	$15$	$?$	$1$	$?$	$1$	$?$	$?$ ( ${\theta }_4$ )
$2$ ( 目标函数 $x_2$ 系数 $c_2$)	$x_2$	$20$	$?$	$0$	$?$	$0$	$?$	$?$ (${\theta }_2$)
${\sigma }_j$ ( 检验数 )			$1$ ( ${\sigma }_1$ )	$0$	$1$ ( ${\sigma }_3$ )	$0$	$?$ ( ${\sigma }_2$ )

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【运筹学】线性规划 单纯形法 案例二 ( 案例解析 | 标准形转化 | 查找初始基可行解 | 最优解判定 | 查找入基变量与出基变量 | 第一次迭代 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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