文章目录

• 一、 卡氏积
• 二、 卡氏积示例
• 三、 卡氏积性质
• 四、 n 维卡氏积
• 五、 n 维卡氏积个数
• 六、 n 维卡氏积性质

前置博客 : 【集合论】有序对 ( 有序对 | 有序三元组 | 有序 n 元祖 )

一、 卡氏积

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卡氏积 : $A,B$ 是两个集合 , 由 $A$ 集合中的元素作为第一个元素 , 由 $B$ 集合中的元素作为第二个元素 , 符合上述条件的有序对组成的集合 , 称为集合 $A$ 与 $B$ 的卡氏积 ;

记作 : $A\times B$

符号化表示 : $A\times B=\{<x,y>|x\in A\wedge y\in B\}$

集合 $A$ 与 集合 $B$ 的 卡氏积 是一个 新的集合 , 这个新集合是一个 有序对集合 ;

二、 卡氏积示例

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集合 $A=\{\varnothing ,a\}$ , 集合 $B=\{1,2,3\}$

$A\times B=\{<\varnothing ,1>,<\varnothing ,2>,<\varnothing ,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>\}$

每个有序对 第一个元素来自 $A$ 集合 , 第二个元素来自 $B$ 集合 ;

$B\times A=\{<1,\varnothing >,<2,\varnothing >,<3,\varnothing >,<1,a>,<2,a>,<3,a>\}$

每个有序对第一个元素来自 $B$ 集合 , 第二个元素来自 $A$ 集合 ;

$A\times A=\{<\varnothing ,\varnothing >,<\varnothing ,a>,<a,\varnothing >,<a,a>\}$

每个有序对第一个元素来自 $A$ 集合 , 第二个元素来自 $A$ 集合 ;

$B\times B=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>\}$

每个有序对第一个元素来自 $B$ 集合 , 第二个元素来自 $B$ 集合 ;

三、 卡氏积性质

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1. 非交换性

$A\times B\ne B\times A$

有三种特殊情况 , 交换性成立

① $A=B$

② $A=\varnothing$

③ $B=\varnothing$

2. 非结合性

$(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)$

有三种特殊情况 , 结合性成立

① $A=\varnothing$

② $B=\varnothing$

③ $C=\varnothing$

3. 分配率

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

4. 有序对为空的情况

$A\times B=\varnothing \iff A=\varnothing \vee B=\varnothing$

四、 n 维卡氏积

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n 维卡氏积 :

$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n=\{<x_1,x_2,\cdots ,x_n>|x_1\in A_1\wedge x_2\in A_2\wedge \cdots \wedge x_n\in A_n\}$

$n$ 个集合的卡氏积 , $n$ 维卡氏积结果 , 每个有序对有 $n$ 个元素 , 每个元素都分别 按照指定顺序 来自这 $n$ 个集合 ;

$A^n=\begin{array}{c}A\times A\times \cdots \times A\\ n个\end{array}$

这是 $n$ 个 集合 $A$ 的 $n$ 维卡氏积 ;

五、 n 维卡氏积个数

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$n$ 维卡氏积个数 :

$|A_i|=n_i,i=1,2,\cdots ,n$

$\Rightarrow$

$|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|=n_1\times n_2\times \cdots \times n_n$

$|A_i|=n_i$ , $i=1,2,\cdots ,n$ : 表示 第 $i$ 个集合 $A_i$ 的元素个数是 $n_i$ ;

$|A_1\times A_2\times \cdots \times A_n|$ : 表示 $n$ 个集合的卡氏积结果集合个数 ;

$n_1\times n_2\times \cdots \times n_n$ : $n$ 个集合的卡氏积结果 ;

六、 n 维卡氏积性质

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n 维卡氏积性质 : 与 $2$ 维卡氏积性质类似

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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