文章目录

• 一、鸽巢原理简单形式
• 二、鸽巢原理简单形式示例 1
• 三、鸽巢原理简单形式示例 2
• 四、鸽巢原理简单形式示例 3

一、鸽巢原理简单形式

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鸽巢原理 :

将 $n+1$ 个物体 放到 $n$ 个盒子 中 , 则

一定存在一个盒子 中 至少 含有 $2$ 个 或 $2$ 个以上的物体 ;

鸽巢原理 实际上是 多对少的配置 ; 至少存在一个多对一的情况 ;

二、鸽巢原理简单形式示例 1

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证明 : 在边长为 $2$ 的正三角形中 , 有 $5$ 个点 , 一定存在两个点的距离小于 $1$ ;

将变成为 $2$ 的正三角形 , 分为 $4$ 个小的正三角形 , 每个边长为 $1$ ; 如下图 :

在 $4$ 个小正方形中 , 绘制 $5$ 个点 ;

根据鸽巢原理 , 上述问题可以转为 将 $5$ 个物体放入 $4$ 个盒子中 , 至少有一个盒子中有 $2$ 个 或 $2$ 个以上的物体 ;

在一个正三角形格子中 , 如果绘制了两个点 , 其距离肯定小于 $1$ ;

三、鸽巢原理简单形式示例 2

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证明 : $9\times 3$ 的方格 , 使用黑色 , 白色 两种颜色进行涂色 , 必定存在两列相同的涂色方案 ;

先将可能的涂色方案枚举出来 : 一共只可能存在 $2^3=8$ 种可能的涂色方案 ;

在 $9$ 列方格中 , 使用 $8$ 种模式进行涂色 ;

可以等价理解为鸽巢原理的 : 将 $9$ 个物体放到 $8$ 个盒子中 , 则 至少有一个盒子中有 $2$ 个 或 $2$ 个以上的物体 ;

因此至少有 $2$ 列或 $2$ 列以上的格子会被涂成一种颜色 ;

四、鸽巢原理简单形式示例 3

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证明 : 空间中有 $9$ 个格点 , 所有的两点连线的中点 , 有一个格点 ;

格点指的是整数点 ;

连线中点是格点的要求 : 空间坐标 $(x,y,z)$ 与 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 有相同的奇偶性 , 即

• $x,x^{\prime }$ 同为奇数或偶数 ,
• $y,y^{\prime }$ 同为奇数或偶数 ,
• $z,z^{\prime }$ 同为奇数或偶数 ,

此时这两个空间坐标的连线中点就是 格点 , 即整数点 ;

下面分析三个坐标分别奇偶性相同时 , 中点是格点的原因 :

连线中点坐标公式为 : $(\frac{x+x^{\prime }}{2},\frac{y+y^{\prime }}{2},\frac{z+z^{\prime }}{2})$

当奇偶性相同的时候 , 连线中点的空间坐标的三个数都是整数 ;

空间坐标 $(x,y,z)$ 与 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 的奇偶模式有 $2^3=8$ 种 ; 分别是

• 第 $1$ 个坐标 $x,x^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 两种情况 ;
• 第 $2$ 个坐标 $y,y^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 两种情况 ;
• 第 $3$ 个坐标 $z,z^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 两种情况 ;

上述每个坐标有两种情况 , 三个坐标下来就是 $2\times 2\times 2=8$ 种情况 , 这是乘法原则 ;

空间中 $9$ 个格点 , 每个格点的奇偶模式有 $8$ 种 ;

可以等价理解为鸽巢原理的 : 将 $9$ 个物体放到 $8$ 个盒子中 , 则 至少有一个盒子中有 $2$ 个 或 $2$ 个以上的物体 ;

因此至少有 $2$ 个或 $2$ 个以上的格点的奇偶模式是相同的 ;

因此 : $2$ 个奇偶模式相同的格点连接的中点 , 肯定是格点 ;

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的【组合数学】鸽巢原理 ( 鸽巢原理简单形式 | 鸽巢原理简单形式示例 1、2、3 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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