文章目录

• 一、" 最小元素法 " 分析
• 二、Vogel 方法 ( 差额法 )

一、" 最小元素法 " 分析

---

在上一篇博客 【运筹学】表上作业法 ( 求初始基可行解 | 最小元素法 ) 中 , 按照 " 最小元素法 " 找到了初始基可行解 ,

使用 " 最小元素法 " , 属于贪婪算法 , 每次都找运费最小的优先供应 , 每个步骤的方案都是最优 , 局部最优 ,

每步最优不一定能使得全局最优 ;

二、Vogel 方法 ( 差额法 )

---

" Vogel 方法 " 的核心思想就是从运价表中 , 分别计算 各行 , 各列 的 最小运费 和 次最小运费 差额 , 填写到表的 最右列 和 最下行 ;

基于如下运输问题进行分析 : 下面的表格代表 $3$ 个产地 , $4$ 个销地 的运输规划问题 , 表格中的内容是 某产地运往某销地的运费 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$11$	$3$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$9$	$2$	$8$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$4$	$10$	$5$	$9$	$1$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$5$	$1$	$3$

列差额 :

第 $1$ 列 列差额 : 最小运费 $1$ , 次最小运费 $3$ , 差额是 $2$ ;

第 $2$ 列 列差额 : 最小运费 $4$ , 次最小运费 $9$ , 差额是 $5$ ;

第 $3$ 列 列差额 : 最小运费 $2$ , 次最小运费 $3$ , 差额是 $1$ ;

第 $4$ 列 列差额 : 最小运费 $5$ , 次最小运费 $8$ , 差额是 $3$ ;

行差额 :

第 $1$ 行 行差额 : 最小运费 $3$ , 次最小运费 $3$ , 差额是 $0$ ;

第 $2$ 行 行差额 : 最小运费 $1$ , 次最小运费 $2$ , 差额是 $1$ ;

第 $3$ 行 行差额 : 最小运费 $4$ , 次最小运费 $5$ , 差额是 $1$ ;

以 第 $1$ 列 列差额 为例进行分析 , 最小运费 $1$ , 次最小运费 $3$ , 差额是 $2$ ; 如果不能使用最小运费 $1$ , 那么退而求其次 , 使用次最小运费 $3$ ; 最优方案无法使用 , 考虑次优方案 , 这两个方案的差距就是 列差额 $2$ , 次优方案比最优方案运费高 , 高 $2$ ;

第二列的列差额是 $5$ , 如果不能使用最优方案 , 使用次优方案 , 每个都要增加运费 $5$ , 这个增加的就太多了 , 应该 优先满足差额较高的行列 优先安排运输 ;

" Vogel 方法 " 将全局的最优考虑了进去 , 不再追求局部最优 , 使用该方法得出的初始基可行解 , 距离最优解更近 , 可以迭代更少次数 ;

第 $1$ 个基变量 :

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是 ${\mathrm{B}}_2$ 的列差额 $5$ ;

${\mathrm{B}}_2$ 列最小运费 : 这里优先给 ${\mathrm{B}}_2$ 销地的最小运费 $4$ 安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第 $3$ 行第 $2$ 列 , ${\mathrm{A}}_3$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_2$ 销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_3$ 来说 , 其生产 $9$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $9$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_2$ 来说需求 $6$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $6$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_3$ 向 ${\mathrm{B}}_2$ 运输 $6$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$8$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$/4$ , $6$	$10$	$5$	$9$	$1$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$3$

此时 ${\mathrm{B}}_2$ 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向 ${\mathrm{B}}_2$ 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第 $2$ 个基变量 :

划掉了 ${\mathrm{B}}_2$ 行 , 这里重新计算行差与列差 ,

${\mathrm{B}}_1$ , ${\mathrm{B}}_3$ 列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

${\mathrm{A}}_1$ , ${\mathrm{A}}_2$ 行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

${\mathrm{A}}_3$ 行差额需要重新计算 , 最小运费被划掉了 , 此时最小运费是 $5$ , 次小运费是 $7$ , 行差额变为 $2$ ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$8$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$7$	$/4$ , $6$	$10$	$5$	$9$	$2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$3$

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是 ${\mathrm{B}}_4$ 的列差额 $3$ ;

${\mathrm{B}}_4$ 列最小运费 : 这里优先给 ${\mathrm{B}}_4$ 销地的最小运费 $5$ 安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第 $3$ 行第 $4$ 列 , ${\mathrm{A}}_3$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_4$ 销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_3$ 来说 , 其生产 $9$ 个 , 已经安排了 $6$ 个 , 还可以再安排 $3$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_4$ 来说需求 $6$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $6$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_3$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 运输 $3$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$8$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$3$

此时 ${\mathrm{A}}_3$ 的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它列的运输问题 ;

第 $3$ 个基变量 :

划掉了 ${\mathrm{B}}_2$ 行 , 这里重新计算行差与列差 ,

${\mathrm{A}}_1$ , ${\mathrm{A}}_2$ 行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

${\mathrm{B}}_1$ , ${\mathrm{B}}_3$ 列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 列差额不变 ;

${\mathrm{B}}_4$ 列差额需要重新计算 , 最小运费被划掉了 , 此时最小运费是 $8$ , 次小运费是 $10$ , 行差额变为 $2$ ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$8$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$2$

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是 ${\mathrm{B}}_1$ 和 ${\mathrm{B}}_4$ 的列差额 $2$ ; 这两个任选一个都可以 ;

${\mathrm{B}}_4$ 列最小运费 : 这里优先给 ${\mathrm{B}}_4$ 销地的最小运费 $8$ 安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第 $2$ 行第 $4$ 列 , ${\mathrm{A}}_2$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_4$ 销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_2$ 来说 , 其生产 $4$ 个 , 已经安排了 $6$ 个 , 还可以再安排 $4$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_4$ 来说需求 $6$ 个 , 已经安排了 $3$ 个 , 还可以再安排 $3$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_4$ 运输 $3$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$/8$ , $3$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

此时 ${\mathrm{B}}_4$ 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向 ${\mathrm{B}}_4$ 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第 $4$ 个基变量 :

划掉了 ${\mathrm{B}}_4$ 行列 , 这里重新计算行差与列差 ,

${\mathrm{A}}_1$ , ${\mathrm{A}}_2$ 行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

${\mathrm{B}}_1$ , ${\mathrm{B}}_3$ 列最小运费 与 次小运费 没有变化 , 列差额不变 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$1$	$/9$	$2$	$/8$ , $3$	$4$	$1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , 是 ${\mathrm{B}}_1$ 的列差额 $2$ ;

${\mathrm{B}}_1$ 列最小运费 : 这里优先给 ${\mathrm{B}}_1$ 销地的最小运费 $1$ 安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第 $2$ 行第 $1$ 列 , ${\mathrm{A}}_2$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_1$ 销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_2$ 来说 , 其生产 $4$ 个 , 已经安排了 $3$ 个 , 还可以再安排 $1$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_1$ 来说需求 $3$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $3$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_2$ 向 ${\mathrm{B}}_1$ 运输 $1$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$/1$ , $1$	$/9$	$/2$	$/8$ , $3$	$4$	$/1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

此时 ${\mathrm{A}}_2$ 的产量已经全部消耗完毕 , 该行就不需要安排其它销地运输了 , 可以划掉这一行 , 讨论其它列的运输问题 ;

第 $5$ 个基变量 :

划掉了 ${\mathrm{A}}_2$ 行 , 这里重新计算行差与列差 ,

${\mathrm{A}}_1$ , ${\mathrm{A}}_2$ 行最小运费 与 次小运费 没有变化 , 行差额不变 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$	$/11$	$3$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$/1$ , $1$	$/9$	$/2$	$/8$ , $3$	$4$	$/1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

从所有 没有被划掉 的并且 没有被安排 的的运费中找到差额最大的 , ${\mathrm{A}}_1$ 的行差额 $0$ ;

${\mathrm{A}}_1$ 列最小运费 : 这里优先给 ${\mathrm{A}}_1$ 销地的最小运费 $3$ 安排运输 , 避免为其安排次小运费 , 对应表格第 $1$ 行第 $1$ 列 , ${\mathrm{A}}_1$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_1$ 销地的运费 ; ( 次小运费 = 最小运费 , 任选一个即可 )

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_1$ 来说 , 其生产 $7$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $7$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_1$ 来说需求 $3$ 个 , 已经安排了 $1$ 个 , 还可以再安排 $2$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_1$ 运输 $2$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$/3$ , $2$	$/11$	$3$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$/1$ , $1$	$/9$	$/2$	$/8$ , $3$	$4$	$/1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

此时 ${\mathrm{B}}_1$ 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向 ${\mathrm{B}}_1$ 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

第 $6$ 个基变量 :

此时只剩下最后一个运费没有被安排 , ${\mathrm{A}}_1$ 产地运往 ${\mathrm{B}}_3$ 销地的运费 ;

产地分析 : 对于产地 ${\mathrm{A}}_1$ 来说 , 其生产 $7$ 个 , 已经安排了 $2$ 个 , 还可以再安排 $5$ 个 ;

销地分析 : 对于销地 ${\mathrm{B}}_3$ 来说需求 $5$ 个 , 已经安排了 $0$ 个 , 还可以再安排 $5$ 个 ;

最大安排最小运费运输 , 从 ${\mathrm{A}}_1$ 向 ${\mathrm{B}}_3$ 运输 $5$ 个产品 ;

${\mathrm{B}}_1$${\mathrm{B}}_2$${\mathrm{B}}_3$${\mathrm{B}}_4$产量行差额

${\mathrm{A}}_1$	$3$ , $2$	$/11$	$3$ , $5$	$/10$	$7$	$0$
${\mathrm{A}}_2$	$/1$ , $1$	$/9$	$/2$	$/8$ , $3$	$4$	$/1$
${\mathrm{A}}_3$	$/7$	$/4$ , $6$	$/10$	$/5$ , $3$	$9$	$/2$
销量	$3$	$6$	$5$	$6$
列差额	$2$	$/5$	$1$	$/2$

此时 ${\mathrm{B}}_3$ 的销量已经全部消耗完毕 , 该列就不需要安排其它产地向 ${\mathrm{B}}_3$ 销地运输了 , 可以划掉这一列 , 讨论其它列的运输问题 ;

至此 , 所有的产量与销量分配完毕 ;

上述初始基可行解方案总运费 :

$(2\times 3)+(3\times 5)+(1\times 1)+(3\times 8)+(4\times 6)+(3\times 5)=85$

最小元素法求出来的初始基可行解的 总运费是 $86$ , " Vogel 方法 " 比 " 最小元素法 " 能找出更近的初始基可行解 ;

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【运筹学】表上作业法 ( 最小元素法分析 | Vogel 方法 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。