【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 )
文章目录
- 一、序列傅里叶变换定义详细分析
- 二、证明单位复指数序列正交完备性
- 三、序列存在傅里叶变换的性质
一、序列傅里叶变换定义详细分析
序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;
x(n)x(n)x(n) 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;
x(n)x(n)x(n) 是绝对可和的 , 满足如下条件 :
∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)|< \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞
连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
就是 x(n)x(n)x(n) 的 序列傅里叶变换 SFT ;
ω\omegaω 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;
X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 是 实的连续的 变量 ω\omegaω 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;
X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)X(e^{j\omega}) = X_g(e^{j\omega}) + jX_l(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}X(ejω)=Xg(ejω)+jXl(ejω)=∣X(ejω)∣ejθ(ω)
∣X(ejω)∣|X(e^{j\omega})|∣X(ejω)∣ 模 是其 " 幅频特性 " ,
ejθ(ω)e^{j\theta(\omega)}ejθ(ω) 相角 是其 " 相频特性 " ,
其中
θ(ω)=arg(X(ejω))\theta(\omega) = \arg(X(e^{j\omega}))θ(ω)=arg(X(ejω))
二、证明单位复指数序列正交完备性
证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "
{e−jωn}\{ e^{-j \omega n} \}{e−jωn}
其中 n=0,±1,±2,⋯n = 0 , \pm 1 , \pm2 , \cdotsn=0,±1,±2,⋯
证明正交完备性方法 e−jωne^{-j \omega n}e−jωn 函数 , 乘以该函数的共轭 (e−jωn)∗(e^{-j \omega n})^*(e−jωn)∗ , 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :
∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω={2πm=n0m≠n①\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega =\begin{cases}2\pi & m = n \\\\ 0 & m \not= n \end{cases} \ \ \ \ ①∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=⎩⎪⎨⎪⎧2π0m=nm=n ①
在上述计算结果的前提下 , 推导 x(n)x(n)x(n) 和 X(ejω)X( e^{j \omega } )X(ejω) 之间的关系 :
X(ejω)=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn②X( e^{j \omega } ) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \ \ \ \ ②X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn ②
将 ② 式 中 , 在等式两边 都乘以 ejωke^{j \omega k}ejωk , 然后对 ω\omegaω 在 −π-\pi−π ~ π\piπ 之间进行积分得到 :
∫−ππX(ejω)ejωkdω=∫−ππ∑n=−∞+∞x(n)e−jωnejωkdω\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \int_{-\pi} ^\pi \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega∫−ππX(ejω)ejωkdω=∫−ππn=−∞∑+∞x(n)e−jωnejωkdω
将 " ∑\sum∑ 求和 " 与 " ∫\int∫ 积分 " 交换位置 ,
∫−ππX(ejω)ejωkdω=∑n=−∞+∞x(n)∫−ππe−jωnejωkdω\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) \int_{-\pi} ^\pi e^{-j \omega n} e^{j \omega k} d \omega∫−ππX(ejω)ejωkdω=n=−∞∑+∞x(n)∫−ππe−jωnejωkdω
根据 ① 式子的推导结果 ,
- 只有当 n=kn = kn=k 时 , ∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=2π\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 2\pi∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=2π ,
- 当 n≠kn \not= kn=k 时 , ∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=0\int_{-\pi}^\pi e^{-j \omega n} (e^{-j \omega n}) ^* d \omega = 0∫−ππe−jωn(e−jωn)∗dω=0 ,
∫−ππX(ejω)ejωkdω={2πx(k)n=k0n≠k\int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega =\begin{cases}2\pi x(k) & n=k \\\\ 0 & n \not= k \end{cases}∫−ππX(ejω)ejωkdω=⎩⎪⎨⎪⎧2πx(k)0n=kn=k
将 2π2\pi2π 除到左边 , 即可得到下面的式子 :
x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωkdωx(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omegax(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
是 X(ejω)X(e^{j \omega})X(ejω) 的 序列傅里叶反变换 ISFT ;
三、序列存在傅里叶变换的性质
x(n)x(n)x(n) 序列存在 " 序列傅里叶变换 SFT " 的充分条件是 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " :
∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \inftyn=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞
∣X(ejω)∣=∑n=−∞+∞x(n)e−jωn≤∑n=−∞+∞∣x(n)∣<∞|X( e^{j \omega } )| = \sum_{n = -\infty}^{+\infty}x(n) e^{-j \omega n} \leq \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x(n)| < \infty∣X(ejω)∣=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn≤n=−∞∑+∞∣x(n)∣<∞
注意上述是充分条件 ,
- 如果 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x(n)x(n)x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ(ω)\delta(\omega)δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
总结
以上是生活随笔为你收集整理的【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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