文章目录

• 一、前置概念
• • 1、序列对称分解定理
  • 2、傅里叶变换
  • 3、傅里叶变换的共轭对称分解
• 二、序列傅里叶变换共轭对称性质
• • 0、序列傅里叶变换共轭对称性质
  • • x(n) 分解为实部序列与虚部序列
    • x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
    • X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
    • X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
  • 1、序列实部傅里叶变换
  • 2、序列虚部傅里叶变换
  • 3、共轭对称序列傅里叶变换
  • 4、共轭反对称序列傅里叶变换

一、前置概念

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1、序列对称分解定理

序列对称分解定理 : 任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

2、傅里叶变换

$x(n)$ 的 傅里叶变换 是 $X(e^{j\omega })$ ,

$x(n)$ 存在 共轭对称 $x_e(n)$ 与 共轭反对称 $x_o(n)$ ,

$X(e^{j\omega })$ 也存在着 共轭对称 $X_e(e^{j\omega })$ 和 共轭反对称 $X_o(e^{j\omega })$ ;

3、傅里叶变换的共轭对称分解

傅里叶变换的共轭对称分解 :

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

其中 $X(e^{j\omega })$ 是 $x(n)$ 的傅里叶变换 , $X_e(e^{j\omega })$ 是傅里叶变换的 共轭对称分量 , $X_o(e^{j\omega })$ 是傅里叶变换的 共轭反对称分量 ,

二、序列傅里叶变换共轭对称性质

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0、序列傅里叶变换共轭对称性质

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 可以分解为 实部序列 $x_R(n)$ 和 虚部序列 $j{x}_I(n)$ :

$$x(n)=x_R(n)+j{x}_I(n)$$

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , $x(n)$ 还可以由序列的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 和 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 的傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也可以分解为 实部序列 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虚部序列 $j{X}_I(e^{j\omega })$ :

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , $x(n)$ 的傅里叶变换 , 可以由 $x(n)$ 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 与 $x(n)$ 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 之和表示 ;

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

1、序列实部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虚部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 虚部 $x_I(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭反对称序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 具备 共轭反对称性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共轭对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共轭反对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$$

总结

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