文章目录

• 一、前置公式定理
• • 1、相关元素说明
  • • x(n) 分解为实部序列与虚部序列
    • x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
    • X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
    • X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
  • 2、序列对称分解定理
  • 3、傅里叶变换定义
• 二、证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列
• 1、共轭对称序列分解
• 2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换
• 3、求 x_e(n) 的傅里叶变换

一、前置公式定理

---

1、相关元素说明

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 可以分解为 实部序列 $x_R(n)$ 和 虚部序列 $j{x}_I(n)$ :

$$x(n)=x_R(n)+j{x}_I(n)$$

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , $x(n)$ 还可以由序列的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 和 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

$x(n)$ 的傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也可以分解为 实部序列 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虚部序列 $j{X}_I(e^{j\omega })$ :

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , $x(n)$ 的傅里叶变换 , 可以由 $x(n)$ 的 共轭对称序列 的傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 与 $x(n)$ 的 共轭反对称序列 的傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 之和表示 ;

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

2、序列对称分解定理

任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

3、傅里叶变换定义

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

$x(n)$ 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里叶变换 SFT ;

$\omega$ 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

$X(e^{j\omega })$ 是 实的连续的 变量 $\omega$ 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;

$$X(e^{j\omega })=X_g(e^{j\omega })+j{X}_l(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$

$|X(e^{j\omega })|$ 模 是其 " 幅频特性 " ,

$e^{j\theta (\omega )}$ 相角 是其 " 相频特性 " ,

其中

$$\theta (\omega )=\arg (X(e^{j\omega }))$$

二、证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列

---

证明下面的公式 :

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

上述证明 原序列的实部 $x_R(n)$ 就是 原序列的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 即可 ;

通过证明

$$x_R(n)=x_e(n)=0.5\times [x(n)+x^{\ast }(n)]$$

即可 ;

1、共轭对称序列分解

根据 序列对称分解定理 , 可得

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

对 $x_e(n)$求傅里叶变换 , 也就是对 $0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$ 求傅里叶变换 ;

2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换

根据傅里叶变换定义 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

可得 $x^{\ast }(-n)$ 的傅里叶变换 是

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)e^{-j\omega n}①$$

令 $-n=n^{\prime }$ , 则 上式 ① 可以写成 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(-n)e^{-j\omega n}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n^{\prime })e^{j\omega n^{\prime }}②$$

将 $n^{\prime }$ 写成 $n$ , 可以得到下面的式子 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)e^{j\omega n}③$$

根据

$$(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$$

公式 , 将上式 ③ 中的 共轭 ${}^{\ast }$ 提取到外面 :

$$[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{j\omega n}{]}^{\ast }③$$

可以得到上面的 ③ 式就是 $X^{\ast }(e^{j\omega })$ ;

3、求 x_e(n) 的傅里叶变换

对 $x_e(n)$ 求傅里叶变换 , 也就是对 $0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$ 求傅里叶变换 ;

其中 $x(n)$ 的傅里叶变换是 $X(e^{j\omega })$ , $x^{\ast }(-n)$ 的傅里叶变换是 $X^{\ast }(e^{j\omega })$ ;

综合上述 , 可得 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{\ast }(e^{j\omega })$$

$X(e^{j\omega })$ 的虚部是正的 , $X^{\ast }(e^{j\omega })$ 的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,

而 $X(e^{j\omega })$ 可以分解为实部 $X_R(e^{j\omega })$ 和 虚部 $j{X}_I(e^{j\omega })$ , 虚部抵消 , 只剩下实部 ,

$$X(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })+j{X}_I(e^{j\omega })$$

因此得到 :

$$SFT[x_e(n)]=0.5X(e^{j\omega })+0.5X^{\ast }(e^{j\omega })=X_R(e^{j\omega })$$

对 $x_e(n)$ 求傅里叶变换 , 最终得到 $x_R(n)$ 的傅里叶变换 ;

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。