数学：拓展中国剩余定理

拓展中国剩余定理解决模数不互质同余方程组

如果模数互质的话，直接中国剩余定理就可以了

但是如果模数不互质又没有接触这个方法就凉凉了

推是很不好推出来的

假设我们这里有两个方程： 

x=a1∗x1+b1

x=a2∗x2+b2 

a1,a2是模数，b1,b2是余数

那么我们可以合并这两个方程：

a1∗x1+b1=a2∗x2+b2

由于x1和x2可以取负无穷到正无穷，所以符号不能约束它们，我们随便变一变形得到

a1∗x1+a2∗x2=b2−b1

然后使用拓展欧几里德算法，x和y分别是式子中的x1和x2

我们求出了一个最小正整数解x1

令k=(a1∗x1+b1)

x≡k(mod lcm(a1,a2))

一路合并下去就可以得到最终的解答了

典型例题是POJ2891,全网仅此一道？？

POJ真是交上去立刻A

1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 const int maxn=100005; 4 int n; 5 long long a[maxn],m[maxn]; 6 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) 7 { 8 if(b==0) {x=1;y=0;return a;} 9 long long ret=exgcd(b,a%b,x,y); 10 long long t=x;x=y;y=t-a/b*y; 11 return ret; 12 } 13 long long crt() 14 { 15 long long M=m[1],A=a[1]; 16 long long x,y; 17 for(int i=2;i<=n;i++) 18 { 19 long long d=exgcd(M,m[i],x,y); 20 if((a[i]-A)%d) return -1; //无解 21 //计算x的值 22 x*=(a[i]-A)/d; 23 long long t=m[i]/d; 24 x=(x%t+t)%t; 25 A=M*x+A; 26 M=M/d*m[i]; 27 A%=M; 28 } 29 A=(A%M+M)%M; 30 return A; 31 } 32 int main() 33 { 34 while(scanf("%d",&n)==1) 35 { 36 for(int i=1;i<=n;i++) 37 scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]); 38 printf("%lld\n",crt()); 39 } 40 return 0; 41 }

 

转载于:https://www.cnblogs.com/aininot260/p/9483902.html

总结

以上是生活随笔为你收集整理的数学：拓展中国剩余定理的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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