题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916

题解

将项链用序列表示，$1$代表黑色，$0$代表白色，对于一个合法序列，它必定能表示成$d$个循环节，每个循环节nd\frac{n}{d}dn​个珠子，其中md\frac{m}{d}dm​个黑色珠子。假设循环节长度为$n$的合法序列方案数为$f(n)$（不考虑旋转后相同的情况），容易发现答案就是
∑d∣n1df(d) \sum_{d|n}\frac{1}{d}f(d) d∣n∑​d1​f(d)
定义
g(n)=∑d∣nf(d) g(n)=\sum_{d|n}f(d) g(n)=d∣n∑​f(d)
容易发现
f(n)=∑d∣nμ(nd)g(d) f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d) f(n)=d∣n∑​μ(dn​)g(d)
考虑如何求$g(d)$。显然可以对每个循环节分开考虑，对于长度为$a$，有$b$颗黑珠子的循环节，考虑被$a-b$颗白珠子划分成的黑珠子每一段的数量，$g(a)$就是下面方程的整数解的方案数
∑i=0a−bxi=b(∀i∈[0,a−b],0≤xi≤k,x0+xa−b≤k) \sum_{i=0}^{a-b}x_i=b(\forall i\in [0,a-b],0\leq x_i\leq k,x_0+x_{a-b}\leq k) i=0∑a−b​xi​=b(∀i∈[0,a−b],0≤xi​≤k,x0​+xa−b​≤k)
容易发现$g(a)$就是下面式子在xbx^bxb项的系数
(∑i=0kxi)a−b−1((∑i=0kxi)2 mod xk+1) (\sum_{i=0}^{k}x^i)^{a-b-1}((\sum_{i=0}^{k}x^i)^2\bmod x^{k+1}) (i=0∑k​xi)a−b−1((i=0∑k​xi)2modxk+1)
展开右边
(∑i=0kxi)a−b−1(∑i=0k(i+1)xi) (\sum_{i=0}^k x^i)^{a-b-1}(\sum_{i=0}^{k}(i+1)x^i) (i=0∑k​xi)a−b−1(i=0∑k​(i+1)xi)
即
(1−xk+11−x)a−b−1(1−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2(1−x)2) (\frac{1-x^{k+1}}{1-x})^{a-b-1}(\frac{1-(k+2)x^{k+1}+(k+1)x^{k+2}}{(1-x)^2}) (1−x1−xk+1​)a−b−1((1−x)21−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2​)
去括号
(1−xk+1)a−b−1(1−x)−(a−b+1)(1−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2) (1-x^{k+1})^{a-b-1}(1-x)^{-(a-b+1)}(1-(k+2)x^{k+1}+(k+1)x^{k+2}) (1−xk+1)a−b−1(1−x)−(a−b+1)(1−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2)
利用二项式定理
(∑i=0∞(a−b−1i)(−1)ix(k+1)i)(∑i=0∞(a−b+ii)xi)(1−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2) (\sum_{i=0}^{\infin}\binom{a-b-1}{i}(-1)^ix^{(k+1)i})(\sum_{i=0}^{\infin}\binom{a-b+i}{i}x^i)(1-(k+2)x^{k+1}+(k+1)x^{k+2}) (i=0∑∞​(ia−b−1​)(−1)ix(k+1)i)(i=0∑∞​(ia−b+i​)xi)(1−(k+2)xk+1+(k+1)xk+2)
定义
S(n)=∑(k+1)i+j=n(a−b−1i)(−1)i(a−b+ii) S(n)=\sum_{(k+1)i+j=n}\binom{a-b-1}{i}(-1)^i\binom{a-b+i}{i} S(n)=(k+1)i+j=n∑​(ia−b−1​)(−1)i(ia−b+i​)
则有
$$g(a)=S(b)-(k+2)S(b-k-1)+(k+1)S(b-k-2)$$
求$S(n)$可以枚举$i$，时间复杂度就是O(σ1(n)k+1)O(\frac{\sigma_1(n)}{k+1})O(k+1σ1​(n)​)，由于σ1(n)\sigma_1(n)σ1​(n)不会很大，可以通过此题。

代码

#include <cstdio>int read() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while((ch<'0')||(ch>'9')){if(ch=='-'){f=-f;}ch=getchar();}while((ch>='0')&&(ch<='9')){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f; }const int maxn=100000; const int mod=998244353;int p[maxn+10],prime[maxn+10],cnt,mu[maxn+10],fac[maxn+10],inv[maxn+10],ifac[maxn+10];int getprime() {p[1]=mu[1]=1;for(int i=2; i<=maxn; ++i){if(!p[i]){prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}for(int j=1; (j<=cnt)&&(i*prime[j]<=maxn); ++j){int x=i*prime[j];p[x]=1;if(i%prime[j]==0){mu[x]=0;break;}mu[x]=-mu[i];}}fac[0]=1;for(int i=1; i<=maxn; ++i){fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;}inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2; i<=maxn; ++i){inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;}ifac[0]=1;for(int i=1; i<=maxn; ++i){ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*inv[i]%mod;}return 0; }inline int C(int a,int b) {if((a<b)||(b<0)||(a<0)){return 0;}return 1ll*fac[a]*ifac[b]%mod*ifac[a-b]%mod; }inline int getsum(int a,int b,int k,int mx) {int ans=0;for(int i=0; mx-(k+1)*i>=0; ++i){int j=mx-(k+1)*i;ans=(ans+((i&1)?(-1ll):(1ll))*C(a-b-1,i)*C(a-b+j,j))%mod;if(ans<0){ans+=mod;}}return ans; }inline int count(int a,int b,int k) {int ans=(getsum(a,b,k,b)-1ll*(k+2)*getsum(a,b,k,b-k-1)+1ll*(k+1)*getsum(a,b,k,b-k-2))%mod;if(ans<0){ans+=mod;}return ans; }int n,m,k,f[maxn+10],g[maxn+10];int getG(int d) {g[n/d]=count(n/d,m/d,k);return 0; }int main() {getprime();n=read();m=read();k=read();if(m==0){puts("1");return 0;}for(int i=1; i*i<=m; ++i){if(m%i==0){if(n%i==0){getG(i);}int j=m/i;if((i*i!=m)&&(n%j==0)){getG(j);}}}for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=i; j<=n; j+=i){f[j]+=mu[j/i]*g[i];if(f[j]>=mod){f[j]-=mod;}if(f[j]<0){f[j]+=mod;}}}int ans=0;for(int i=1; i<=n; ++i){if(n%i==0){ans=(ans+1ll*inv[i]*f[i])%mod;}}printf("%d\n",ans);return 0; }

转载于:https://www.cnblogs.com/Canopus-wym/p/10376057.html

总结

以上是生活随笔为你收集整理的Luogu P4916 魔力环的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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