【学习笔记】之多项式使人头秃

真的自闭= =

多项式是什么鬼哦

 

首先 介绍 FFT

我才不想写那么多柿子呢

大体说一下FFT干了啥

我们对两个多项式进行卷积（即多项式乘法）

 也就是 

暴力计算的话是n^2的

我们考虑把它变成点值[即(x,y)表示f(x)=y] 点值相乘就快了嘛 但是变成点值了以后咋变回来呢

有个叫傅里叶的nb的人 他发明了一个nb的东西叫傅里叶变换= =

也就是通过 虚数中的单位根 来计算就可以变回来了

单位根是什么东西呢 就是在复平面上的一个单位圆 将其弧等分成若干份 第一个点位于(0,1)的n个点 把这些数带进去就可以做啦

说起来很奇特对不对 他其实就很奇特= =

具体详细的东西右转百度吧 我实在是懒得写QAQ

 实现上可以直接使用模板库里的complex（虽然我用起来非常不习惯）

扔个代码跑路。

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #define maxn 3000010 using namespace std;const double Pi = acos(-1.0);struct complex {double x,y;complex(double xx=0.0,double yy=0.0){x=xx,y=yy;} }A[maxn],B[maxn]; int l,r[maxn],limit=1; complex operator + (complex a,complex b){return complex(a.x+b.x,a.y+b.y);} complex operator - (complex a,complex b){return complex(a.x-b.x,a.y-b.y);} complex operator * (complex a,complex b){return complex(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}void FFT(complex *a,int type) {for(int i=0;i<limit;i++)if(i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){complex Wn=complex(cos(Pi/mid),type*sin(Pi/mid));for(int R=mid<<1,j=0;j<limit;j+=R){complex w=complex(1,0);for(int k=0;k<mid;k++,w=w*Wn){complex x=a[j+k],y=w*a[j+mid+k];a[j+k]=x+y;a[j+mid+k]=x-y;}}} }int main() {int N,M,i,j;scanf("%d%d",&N,&M);for(i=0;i<=N;i++) scanf("%lf",&A[i].x);for(i=0;i<=M;i++) scanf("%lf",&B[i].x);while(limit<=(N+M)) limit<<=1,l++;for(i=0;i<limit;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));FFT(A,1);FFT(B,1);for(i=0;i<=limit;i++)A[i]=A[i]*B[i];FFT(A,-1);for(i=0;i<=N+M;i++)printf("%d ",(int)(A[i].x/limit+0.5));return 0; }

 

然后我们就遇到了一个神奇的模数 998244353 才不是1XXXXXX7

为什么是这个模数呢 因为他是一个2^x* ...+1的一个素数 具有一些优美的性质

我们就可以进行NTT[快速数论变换] /斜眼笑/

我们刚刚FFT中用的复平面中的单位根 所以是有小数的

这个样子可不大好因为我们要取模 所以我们有了一个很nb的东西叫做 原根

原根有一些优美的性质 就跟单位根一样 G ^ ((p-1)/i) 就是可以当成单位根使用的数啦 [i|(p-1)]这也就是p为什么要是 2^x *... +1的原因啦 

小姿势：998244353的原根是3

其他详细的细节还是右转百度吧【大雾

扔个代码。

#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define maxn 300005 #define modn 998244353 #define G 3 #define ll long long using namespace std;int q_pow(ll base,ll pow) {ll ans=1;while(pow){if(pow&1){ans*=base;ans%=modn;}base*=base;base%=modn;pow>>=1;}return (int)ans; }int A[maxn],B[maxn],C[maxn]; int l,r[maxn],limit,inv; void FFT(int *a,int type) {int i,j,k;for(i=0;i<limit;i++)if(r[i]>i)swap(a[r[i]],a[i]);for(i=2;i<=limit;i<<=1){int mid=i>>1;int Wn=q_pow(G,(modn-1)/i);if(type) Wn=q_pow(Wn,(modn-2));for(j=0;j<limit;j+=i){int w=1;for(k=0;k<mid;k++){int x=a[j+k],y=a[j+mid+k];a[j+k]=x+(ll)w*y%modn;if(a[j+k]>=modn) a[j+k]-=modn;a[j+k+mid]=x-(ll)w*y%modn;if(a[j+mid+k]<0) a[j+mid+k]+=modn;w=(ll)w*Wn%modn;}}}if(type){for(i=0;i<limit;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%modn;} }int main() {int n,i,j,k,m,s;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=0;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);for(i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&B[i]);limit=1;while(limit<=(n+m)) limit<<=1,l++;for(i=0;i<limit;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));inv=q_pow(limit,modn-2);FFT(A,0);FFT(B,0);for(i=0;i<=limit;i++)C[i]=(ll)A[i]*B[i]%modn;FFT(C,1);for(i=0;i<=(n+m);i++)printf("%d\n",C[i]);return 0; }

 

于是我的姿势还只停留在 FFT/NTT 只是能求个卷积【大雾

 

然后就有一些奇奇怪怪的东西了=.=+

 

【奇奇怪怪的东西一】多项式求逆

我们现在有一个多项式f 我们要求一个多项式g满足 

这玩意看上去是不是非常奇怪啊【明明就是非常奇怪！

假设我们现在已知一个多项式h 满足 

我们可以得到

平方

卷上f 

移项

递归求解就好啦

边界当然是n=1的时候 g直接取f的常数项的逆元啦qwq。

附代码。

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define inf 20021225 #define ll long long #define mdn 998244353 #define G 3 #define mxn 300100 using namespace std;int rev[mxn];int ksm(int bs,int mi) {int ans=1;while(mi){if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;}return ans; } int inv; void NTT(int *a,int lim,int f) {for(int i=0;i<lim;i++)if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int k=2;k<=lim;k<<=1){int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k),mid=k>>1;if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1){for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn){int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+mid]%mdn;a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+j+mid]=(x-y+mdn)%mdn;}}}if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn; } int g[mxn],h[mxn],f[mxn];void poly_inv(int n) {if(n==1){g[0]=ksm(f[0],mdn-2);//printf("%d\n",g[0]);return;}poly_inv((n+1)>>1);int lim=1,l=0;while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));inv=ksm(lim,mdn-2);for(int i=0;i<n;i++) h[i]=f[i];for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++)g[i]=(ll)(2ll-(ll)g[i]*h[i]%mdn+mdn)%mdn*g[i]%mdn;NTT(g,lim,1);for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0; }int main() {int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);poly_inv(n);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",g[i]);return 0; }

 

【奇奇怪怪的东西二】多项式对数函数

看上去是不是很高大上！【实则蠢得一批

对于多项式 f 求g=ln f

这之前我们科普一点求导和积分的小姿势

对于一个普通多项式

求导

积分

两个过程都很像哒 就是反过来做而已233

ln x求导是 1/x

复合函数求导

然后ln f的求导

直接多项式求逆然后求导再积分回去就好啦qwq

代码等我一哈【不咕不咕必定不可能咕

update：真的没有咕！

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define inf 20021225 #define ll long long #define mdn 998244353 #define G 3 #define mxn 300100 using namespace std;int ksm(int bs,int mi) {int ans=1;while(mi){if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;}return ans; } int inv,rev[mxn]; void NTT(int *a,int lim,int f) {for(int i=0;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);for(int k=2;k<=lim;k<<=1){int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn){int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+mid]%mdn;a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+j+mid]=(x-y+mdn)%mdn;}}if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn; }void init(int lim,int l) {for(int i=1;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);inv=ksm(lim,mdn-2); }int h[mxn],g[mxn],f[mxn];void poly_inv(int n) {if(n==1){g[0]=ksm(f[0],mdn-2);return;}poly_inv((n+1)>>1);int lim=1,l=0;while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;for(int i=0;i<n;i++) h[i]=f[i];for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;init(lim,l);NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++)g[i]=(2ll -(ll)g[i] *h[i] %mdn +mdn) %mdn *g[i]%mdn;NTT(g,lim,1);for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0; } int d[mxn]; void poly_ln(int n) {poly_inv(n);for(int i=0;i<n;i++) d[i] =(ll)f[i+1] * (i+1) %mdn;int l=0,lim=1;while(lim<(n<<1)) lim<<=1,l++;init(lim,l);NTT(d,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)g[i]*d[i]%mdn;NTT(g,lim,-1);for(int i=0;i<n;i++) d[i+1]=(ll)g[i]*ksm(i+1,mdn-2)%mdn;d[0]=0; }int main() {int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);poly_ln(n);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",d[i]);return 0; }

【奇奇怪怪的东西三】多项式指数函数

对于给定 f(x) 求h(x)= e^(f(x)) mod(x^n)

有点鬼畜是不是= =|| 

还是先讲一些前缀姿势

1. 泰勒展开

对于一个函数 f(x) 我们可以使用高阶导数对其无限逼近

2.牛顿迭代

我们现在要求 其中g已知

假设我们知道原式的答案为

根据泰勒展开

 

显然所以从第三项开始都是模x^n 为0的 我们可以不用考虑

那么就是

拆开移项得

那么我们就可以递归求解啦= =+

 

诶你突然发现问题了对不对= =+

g我们好像还不知道是什么呢

g当然是我们自己构造的啦 由于两边同时取ln

得到

根据牛顿迭代的柿子  

所以把式子带进去

这次就没问题啦= =+

【喝了口开水差点被烫死】

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define inf 20021225 #define ll long long #define mxn 400100 #define mdn 998244353 #define G 3 using namespace std;int ksm(int bs,int mi) {int ans=1;while(mi){if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;}return ans; } int rev[mxn],inv; int init(int n) {int lim=1,l=0;while(lim<n) lim<<=1,l++;for(int i=0;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);inv = ksm(lim,mdn-2);return lim; } void NTT(int *a,int lim,int f) {for(int i=0;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);for(int k=2;k<=lim;k<<=1){int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1)for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn){int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn;}}if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn; } int g[mxn],h[mxn]; void poly_inv(int *a,int n) {if(n==1){g[0]=ksm(a[0],mdn-2);return;}poly_inv(a,n+1>>1);int lim=init(n<<1);for(int i=0;i<n;i++) h[i]=a[i];for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++)g[i]=(2ll-(ll)g[i]*h[i]%mdn+mdn)%mdn*g[i]%mdn;NTT(g,lim,1);for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0; } int d[mxn],e[mxn]; int get_inv(int x){return ksm(x,mdn-2);} void get_d(int *a,int n) {d[n-1]=0;for(int i=0;i<n;i++) d[i]=(ll)a[i+1]*(i+1)%mdn; } void get_e(int *a,int n) {e[0]=0;for(int i=1;i<n;i++) e[i]=(ll)a[i-1]*get_inv(i)%mdn; } void poly_ln(int *a,int n) {get_d(a,n);poly_inv(a,n);int lim=init(n<<1);NTT(d,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)d[i]*g[i]%mdn;NTT(g,lim,1);get_e(g,n); } int s[mxn],tmp[mxn]; void poly_exp(int *a,int n) {if(n==1){s[0]=1;return;}int mid=n+1>>1;poly_exp(a,mid);for(int i=0;i<(n<<1);i++) e[i]=g[i]=0;poly_ln(s,n);for(int i=0;i<n;i++) tmp[i]=a[i];int lim=init(n<<1);NTT(e,lim,0);NTT(tmp,lim,0);NTT(s,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++)s[i]=((ll)tmp[i]-e[i]+1+mdn)%mdn*s[i]%mdn;NTT(s,lim,1);for(int i=n;i<lim;i++) s[i]=tmp[i]=0; } int f[mxn]; int main() {int n;scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);poly_exp(f,n);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",s[i]);return 0; }

【奇奇怪怪的东西五】多项式除法

听起来是不是十分酷炫 实际上用到一个神奇的转化就可以轻轻松松松松松（大雾）的通过啦

我们对于给定 n次多项式f(x) 和 m次多项式g(x) 求中的 d 和 r 没错就是平常见过的多项式除法 其中（n>m）

这个玩意如何实现呢？ 直接做的话肯定是O(nm) 十分不优秀 况且既然有了 FFT这种nb的东西 怎么能让这么不优美的复杂度存在呢

下面来介绍这个神奇的操作

我们将一个多项式的系数翻转【没错 就是 前后倒过来那个翻转】

这个应该怎么在数学中实现呢 就是这个样子

然后我们来干一些有趣的事情 把前面的所有多项式中的x替换成然后等式两边同时乘 于是就有了

然后我们发现这个玩意很优美 可以化成

我们发现 余数项的最低次都是n-m+1 所以我们可以让整个柿子对取模来消除r对答案的影响。

然后我们就可以鱼块的多项式求逆来求出再翻转回来得到 带回原式把求出来就做完啦

所以其实比前面的还要好写= =+

代码。

#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #define inf 20021225 #define ll long long #define mdn 998244353 #define mxn 400100 #define G 3 using namespace std;int ksm(int bs,int mi) {int ans=1;while(mi){if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn;bs=(ll)bs*bs%mdn;mi>>=1;}return ans; } int inv,rev[mxn]; void NTT(int *a,int lim,int f) {for(int i=1;i<lim;i++) if(rev[i]>i) swap(a[rev[i]],a[i]);for(int k=2;k<=lim;k<<=1){int mid=k>>1,Wn=ksm(G,(mdn-1)/k);if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2);for(int i=0,w=1;i<lim;w=1,i+=k)for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn){int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn;a[i+j]=(x+y)%mdn;a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn;}}if(f) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn; } int g[mxn],h[mxn]; int init(int n) {int lim=1,l=0;while(lim<n) lim<<=1,l++;for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1);inv=ksm(lim,mdn-2);return lim; } void poly_inv(int *a,int n)// g {if(n==1){g[0]=ksm(a[0],mdn-2);return;}int mid=(n+1)>>1;poly_inv(a,mid);int lim=init(n<<1);for(int i=0;i<n;i++) h[i]=a[i];for(int i=n;i<lim;i++) h[i]=0;NTT(h,lim,0);NTT(g,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++)g[i]=(2ll -(ll)h[i]*g[i]%mdn +mdn)%mdn*g[i]%mdn;NTT(g,lim,1);for(int i=n;i<lim;i++) g[i]=0; } int ff[mxn],f[mxn],d[mxn],fd[mxn],r[mxn]; void reverse(int *a,int *b,int n) {for(int i=0;i<n;i++)b[i]=a[n-i-1]; } void poly_div(int n,int m) {reverse(f,ff,n);reverse(d,fd,m);int nn=n-m+1;poly_inv(fd,nn);//for(int i=0;i<nn/2;i++) swap(g[i],g[nn-i-1]);int lim=init(n<<1);// 2n-m+1NTT(g,lim,0);NTT(ff,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=(ll)g[i]*ff[i]%mdn;NTT(g,lim,1);for(int i=nn;i<lim;i++) g[i]=0;for(int i=0;i<nn/2;i++) swap(g[i],g[nn-i-1]);NTT(g,lim,0);NTT(d,lim,0);NTT(f,lim,0);for(int i=0;i<lim;i++) d[i]=(ll)d[i]*g[i]%mdn;for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(f[i]-d[i]+mdn)%mdn;NTT(r,lim,1);NTT(g,lim,1);for(int i=0;i<nn;i++) printf("%d ",g[i]);printf("\n");for(int i=0;i<m-1;i++) printf("%d ",r[i]);printf("\n"); } int main() {int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);n++;m++;for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&f[i]);for(int i=0;i<m;i++) scanf("%d",&d[i]);poly_div(n,m);return 0; }

持续更新！= =+

多项式全家桶大概到这里就告一段落啦~

或许什么时候我会写多点求值，但那也是要先学完插值的啦。

所以到这里

完结撒花✧(≖ ◡ ≖✿)

我竟然没有鸽

转载于:https://www.cnblogs.com/hanyuweining/p/10321933.html

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【学习笔记】之多项式使人头秃的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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