1.函数极限的定义：

假设 $f(x)$ 是一个实函数，$c$ 是一个实数，那么
$$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$$
表示 $f(x)$ 可以任意地靠近 $L$，只要我们让 $x$ 充分靠近 $c$。此时，我们说当 $x$ 趋向 $c$ 时，函数 $f(x)$ 的极限是 $L$。值得特别指出的是，这个定义在 $f(c)$ 的时候同样是成立的。事实上，即使 $f(x)$ 在 $c$ 点没有定义，我们仍然可以定义上述的极限。—《维基百科》

$简单说就是f(x)在c点的左右极限都存在且相等，如图$

$注意：函数f(x)在c点有无极限与在c点有无定义无关$

2.函数在某一点连续的定义：

假设 $f(x)$ 是一个实函数，定义域为R，$f(x)$ 在R中的某一点 $c$ 处连续当且仅当以下的两个条件满足即可：

$f(x)$ 在 c 点有定义。

$f(x)$ 在c点有极限，且极限等与 $f(x)$ 在该点的函数值，即 $$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$$

详细定义请参考维基百科：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E5%87%BD%E6%95%B0

3.函数的极限与连续性的关系：

$由定义可得函数在某一点连续必有极限，有极限不一定连续$

$(1)函数在某一点连续一定有极限吗？$

一定。根据定义函数在某一点连续必有极限

$(2)连续函数一定有极限吗？$

不一定。例如，函数 $y=x$ 当 $x$ 趋向与正无穷时，$y$ 也趋向与正无穷，不存在极限。连续函数一定存在极限指的是趋向某个确定值的时候才存在极限，比如 $x$ 趋向与3。

$(3)函数在某一点有极限，则在该点一定连续吗？$

不一定。比如，第一类可去间断点函数，间断点的极限存在，但函数在该点无定义,所以不连续。

$(4)函数在某一点有极限，则该点一定有定义吗？有定义一定有极限吗？$

不一定。根据函数极限的定义，可得函数在某一点有极限与在该点是否有定义并无关系。
不一定。比如分段函数。

$(5)有界的连续函数一定有极限吗？$

不一定。比如三角函数 $sin(x)$。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的函数的极限与连续性的关系的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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