【模板】高斯消元

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• • • 高斯消元解线性方程组
    • 异或方程组
    • bitset优化异或方程组

高斯消元解线性方程组

int a[N][N]输入矩阵，$n$行，$n+1$列，下标从0开始
第$n+1$列表示方程右边的值（n行即n个方程，n列即n个未知数）

int gauss()返回矩阵的秩（矛盾无解返回-1），并且系数矩阵化为单位矩阵
int a[N][N]数组第$n+1$列（下标a[i][n]）是解$x_i$

时间复杂度：$O(n^3)$

//O(n^3) #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=110; const double eps=1e-6; int n; double a[N][N]; int gauss() {int c,r;for(c=0,r=0;c<n;c++) //枚举每一列{ //找该列绝对值最大的一行 精度int t=r;for(int i=r;i<n;i++)if(fabs(a[i][c])>fabs(a[t][c])) t=i;// 该列都为0 则跳过if(fabs(a[t][c])<eps) continue;// 将该行换到第r行for(int i=c;i<=n;i++) swap(a[r][i],a[t][i]);// 第r行第一项变成1for(int i=n;i>=c;i--) a[r][i]/=a[r][c];// 变成上三角 用第r行去消掉其他所有行的第c列for(int i=0;i<n;i++)if(i!=r&&fabs(a[i][c])>eps) //该行第c列不为0for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]-=a[i][c]*a[r][j];r++;}if(r<n) //非完美阶梯型{for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][n]>eps) return -1; // 等式右端不为0return r; //返回秩}return r; }

异或方程组

第$n+1$列表示方程右边的值（n行即n个方程，n列即n个未知数）
int gauss返回矩阵的秩

时间复杂度：$O(n^3)$

#include<iostream> using namespace std; const int N=110; int n,a[N][N]; int gauss() {int r,c;for(c=0,r=0;c<n;c++) //枚举列{int t=r; //找到不为1的那一行for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][c]) t=i;if(!a[t][c]) continue; //该列都是0// 不为1的一行换到第r行for(int j=c;j<=n;j++) swap(a[r][j],a[t][j]);// 异或消 第r行消去他们的第c列for(int i=0;i<n;i++)if(i!=r&&a[i][c])for(int j=n;j>=c;j--)a[i][j]^=a[r][j];r++;}if(r<n){for(int i=r;i<n;i++)if(a[i][n]) return -1;return r;}return r; }

bitset优化异或方程组

bitset的原理大概是将很多数压成一个，从而节省空间和时间，时间复杂度的$w$通常是32

$n$行$m$列，即$n$个方程$m$个未知数
int gauss返回矩阵的秩
注意bitset对于字符串第位在前，而数字第位表示二进制中数字的最低二进制位

时间复杂度：$O(\frac{n^3}{w})$

#include<bitset> using namespace std; const int N=1010; bitset<N> A[N]; int n,m; int gauss() {int r,c;for(c=0,r=0;c<m;c++){int t=r;for(int i=r;i<n;i++)if(A[i][c]) t=i;if(!A[t][c]) continue;swap(A[r],A[t]);for(int i=0;i<n;i++)if(i!=r&&A[i][c])A[i]^=A[r];r++;}if(r<m){for(int i=r;i<n;i++)if(A[i][m]) return -1;return r;}return r; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【模板】高斯消元的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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