P2685 [TJOI2012]桥（最短路+线段树）

P2685 [TJOI2012]桥

xcxcli题解
下面思路仿照上述题解，代码基本照抄上述题解

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$u⇝v$表示$u$到$v$的最短路
$u\to v$表示$u$和$v$直接相连的边
$d{1}_u$表示$1⇝u$的最短路
$d{n}_u$表示$n⇝v$的最短路

题意化简一下就是让你求删除一条边使得$1⇝n$最大化，并求删边方案数。

首先不难发现，如果我们选择删除的边不在$1⇝n$的路径上，并不会对$1⇝n$的大小产生影响，也就是如果要产生影响必须删除该路径上的一条边。

不妨假设$1⇝n$路径上的点如下
$$1\to \cdots \to a\to b\to c\to d\to \cdots \to n$$
如果我们现在选择删除$b\to c$这条边，发现这条路径被切成两部分$1\to \cdots \to a\to b$和$c\to d\to \cdots \to n$，由于我们现在已经删除$b\to c$这条边，新的$1⇝n$一定是$1⇝x⇝u\to v⇝y⇝n$，并且$x\in 1\to \cdots \to a\to b,y\in c\to d\to \cdots \to n$

也就是我们现在让其强制走一条不在$1⇝n$上的路径即$u\to v$，并且走此路径能够避开$b\to c$，$1⇝x⇝u\to v⇝y⇝n$路径的权值显然是$d{1}_u+w_{u\to v}+d{n}_v$，让其更新删除$b\to c$后$1⇝n$的最短路。

显然我们不能枚举$x,y$然后在枚举$u\to v$去更新删除$b\to c$的结果，有一个直接的想法就是$1⇝x⇝u\to v⇝y⇝n$路径能够避开哪些$1\to \cdots \to a\to b\to c\to d\to \cdots \to n$的边，假设它能够避开$a\to b\to c\to d$显然这个结果能够更新删除$a\to b$或者$b\to c$或者$c\to d$的答案。

于是我们只需要枚举$u\to v$这条边（需要保证此边不在$1⇝n$的路径上），然后找到$1⇝x⇝u\to v⇝y⇝n$能够避开哪些边（仔细想想可知避开的路径一定是连续的），进行区间更新（线段树）即可。
这也是上述博客预处理$L_u$和$R_u$的原因！！！

有了上述两个数组那么$1⇝x⇝u\to v⇝y⇝n$避开的路径则是$L_u⇝R_v$之间的边。

dengyaotriangle详细证明

#include<queue> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; using pii=pair<int,int>; constexpr int N=100010,M=400010; constexpr int INF=0x3f3f3f3f; int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx; void add(int a,int b,int c){e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=c,h[a]=idx++;} int n,m; bool st[N]; int d1[N],dn[N]; int path[N],cnt,id[N]; bool in[M]; int L[N],R[N],ans[N]; void dijkstra(int S,int d[]) {memset(d,0x3f,(n+1)*sizeof(int));memset(st,0,sizeof st);d[S]=0;priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;q.push({0,S});while(q.size()){int u=q.top().second;q.pop();if(st[u]) continue;st[u]=1;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(d[v]<=d[u]+w[i]) continue;d[v]=d[u]+w[i];q.push({d[v],v});}} } void bfs(int k,int d[],int f[]) {queue<int> q;q.push(path[k]);f[path[k]]=k;while(q.size()){int u=q.front();q.pop();for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(!id[v]&&!f[v]&&d[u]+w[i]==d[v]) f[v]=k,q.push(v);}} } struct node {int l,r,v; }tree[N<<2]; void build(int u,int l,int r) {tree[u]={l,r,INF};if(l==r) return;int mid=l+r>>1;build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r); } void modify(int u,int l,int r,int x) {if(tree[u].l>=l&&tree[u].r<=r) return tree[u].v=min(tree[u].v,x),void();int mid=tree[u].l+tree[u].r>>1;if(l<=mid) modify(u<<1,l,r,x);if(r>mid) modify(u<<1|1,l,r,x); } void pushdown(int u) {if(tree[u].l==tree[u].r){ans[tree[u].l]=tree[u].v;return;}tree[u<<1].v=min(tree[u<<1].v,tree[u].v);tree[u<<1|1].v=min(tree[u<<1|1].v,tree[u].v);int mid=tree[u].l+tree[u].r>>1;pushdown(u<<1),pushdown(u<<1|1);} int main() {cin>>n>>m;memset(h,-1,sizeof h);for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;cin>>a>>b>>c;add(a,b,c),add(b,a,c);}dijkstra(1,d1),dijkstra(n,dn);// 预处理1->n路径上的点int u=1;while(u!=n){path[++cnt]=u;id[u]=cnt;for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(dn[v]+w[i]==dn[u]) {in[i]=1;u=v;break;}}}path[++cnt]=n;id[n]=cnt;//1->n路径上的点 for(int i=1;i<=cnt;i++) bfs(i,d1,L),bfs(i,dn,R);--cnt;build(1,1,cnt);//我们将1->n路径上的边编号for(int u=1;u<=n;u++)for(int i=h[u];i!=-1;i=ne[i]){int v=e[i];if(!in[i]&&L[u]<R[v])// L[u]->R[v]边的编号是L[u]->R[v]-1modify(1,L[u],R[v]-1,d1[u]+w[i]+dn[v]);}pushdown(1);int mx=0,res=0;for(int i=1;i<=cnt;i++){if(mx<ans[i]) mx=ans[i],res=1;else if(mx==ans[i]) res++;}if(mx==d1[n]) res=m;cout<<mx<<' '<<res<<'\n'; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的P2685 [TJOI2012]桥（最短路+线段树）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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