序列

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题目描述

长度为$n$的序列，初始全为$0$，每次可以选择⼀个数$a_i(1\le i\le l)$，然后选择连续$a_i$个元素异或上$1$

求最少的次数，使得对于所有$i(1\le i\le k)$满足第$i$个位置是$1$，其他的位置都是$0$

输入格式

第⼀行三个数$n,m,k$

第二行$k$个数分别表示$x_1,x_2,...,x_k$

第三行$l$个数分别表示$a_1,a_2,...a_l$

输出格式

一个数表示答案，若不能达到输出-1

样例

10 2 3 1 2 6 10 4 2

数据范围

$n\le 10000,k\le 10,l\le 100$

solution

异或常见有两种处理

• 0-1异或类，权值只有0，1

  显然某位异或偶数次相当于没操作，这就可以转化成差分

• 普通异或类

  按二进制拆位做，每位答案是独立的

此题就是差分做法

e.g. 目标结果：1 0 0 1 1 0，相邻两位权值不同就要差分出来

操作一段长为$a_i$的段，就相当于在$pos,pos+a_i$两个位置异或$1$

本题$k$范围极小，差分出来最多也就$20$个位置

考虑从最后的状态用最少操作数变成全$0$的初始状态

这相当于一张$n+1$点姻缘图，在差分$2k$个位置上有人，位置相差为$a_i$的点对间有无向边，人沿着边移动，两人相遇牵手成功离开，求最少走过的边数，使得每个人都能找到自己的心动嘉宾

用bfs处理出，每个人到达所有点走过的最少边数，到不了就置为inf

总人数不多，可以状压dp枚举每次是哪两个人牵手成功，转移即可

code

#include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define inf 0x3f3f3f3f queue < pair < int, int > > q; int n, k, l, cnt; int dis[22][100002]; int x[100002], a[105], c[25]; int dp[1 << 22];int dfs( int s ) {if( ! s ) return 0;if( dp[s] ^ inf ) return dp[s];int &ans = dp[s], x = __builtin_ctz( s );for( int y = cnt - 1;y > x;y -- )if( 1 << y & s ) {int t = dfs( s ^ ( 1 << y ) ^ ( 1 << x ) );ans = min( ans, t + dis[x][c[y]] );}return ans; }int main() {scanf( "%d %d %d", &n, &k, &l );for( int i = 1, pos;i <= k;i ++ ) {scanf( "%d", &pos );x[-- pos] = 1;}for( int i = 1;i <= l;i ++ )scanf( "%d", &a[i] );if( x[0] ) c[cnt ++] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( x[i] ^ x[i - 1] ) c[cnt ++] = i;if( cnt & 1 ) return ! printf( "-1" );memset( dp, 0x3f, sizeof( dp ) );memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );for( int i = 0, j, d, pos;i < cnt;i ++ ) {dis[i][c[i]] = 0;q.push( make_pair( 0, c[i] ) );while( ! q.empty() ) {d = q.front().first, pos = q.front().second; q.pop();for( k = 1;k <= l;k ++ ) {j = pos + a[k];if( j <= n and dis[i][j] == inf )dis[i][j] = d + 1, q.push( make_pair( d + 1, j ) );j = pos - a[k];if( j >= 0 and dis[i][j] == inf )dis[i][j] = d + 1, q.push( make_pair( d + 1, j ) );}}}int ans = dfs( ( 1 << cnt ) - 1 );printf( "%d\n", ans == inf ? -1 : ans );return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的[2021-09-09 T3] 序列/luogu P3943 星空（异或差分+bfs最短路+状压dp）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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