树的同构

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模板题

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Ⅰ. 最小表示法

将树转化为 $0/1$ 括号序列：从根开始 $\text{dfs}$，$0$ 就往下遍历一个儿子，$1$ 就返回，构成一个 $2\times n$ 的括号序列。

显然，括号序列与树的形态是唯一对应的。

• 有根树
  • 若儿子遍历顺序是固定的。显然括号序列只有唯一一种。
  • 若儿子遍历顺序不固定。就会有多种合法的括号序列，不妨钦定字典序最小的为这棵树的括号序列，这个特殊的括号序列有单独的名称：最小表示。

显然，两棵有根树的最小表示相同是同构的充要条件。

具体实现：递归地构造，对于点 $u$，先把儿子 $v$ 的括号序列都处理出来后，按照儿子的字典序从小到大排序，然后顺次接起来。在这个拼接的括号序列外面用 $0$（进入 $u$ 子树求解）$1$（完成 $u$ 子树内的遍历） “包起来”就表示把 $u$ 子树遍历完然后返回上一层的最小表示了。

时间复杂度为 $O(n^2)$。最坏情况为链。

因为括号序列肯定是用字符串 $\text{string}$ 类型储存。

那么 $f[u]+=f[v]$ 这一句话的操作复杂度其实是 $O(len)$ 的。

• 无根树

比较暴力的想法就是对于每个点都当作根，做一遍 $\text{dfs}$。时间复杂度为 $O(n^3)$。

对于本题而言，又有 $m$ 棵树，时间复杂度就是 $O(n^{3}m)$ 的。

实际上，最小表示法就是为了定义一个规则，让一棵树拥有唯一的括号序列。如果喜欢最大表示法也是可以的。

所以可以对无根树找一个特殊的规则，来区别不同构的树。

这里我们选择重心为根时的括号序列当作无根树的括号序列代表。

两个重心的话就取字典序较小的。

时间复杂度就降为 $O(n^{2}m)$。

code

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define maxn 55 int n, m, Max, cnt; string Min; struct node { int to, nxt; }E[maxn << 1]; int head[maxn], siz[maxn], MaxSiz[maxn]; string f[maxn], g[maxn], mp[maxn];void init() {memset( head, -1, sizeof( head ) );memset( MaxSiz, 0, sizeof( MaxSiz ) );cnt = 0; Max = n; Min = "1"; }void addedge( int u, int v ) {E[cnt] = { v, head[u] };head[u] = cnt ++; }void dfs1( int u, int fa ) {siz[u] = 1;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to;if( v == fa ) continue;dfs1( v, u );siz[u] += siz[v];MaxSiz[u] = max( MaxSiz[u], siz[v] );}MaxSiz[u] = max( MaxSiz[u], n - siz[u] );Max = min( Max, MaxSiz[u] ); }void dfs2( int u, int fa ) {f[u] = "0";for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt )if( E[i].to ^ fa ) dfs2( E[i].to, u );int tot = 0;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt )if( E[i].to ^ fa ) g[++ tot] = f[E[i].to];sort( g + 1, g + tot + 1 );for( int i = 1;i <= tot;i ++ ) f[u] += g[i];f[u] += "1"; }int main() {scanf( "%d", &m );for( int j = 1;j <= m;j ++ ) {scanf( "%d", &n );init();for( int i = 1, x;i <= n;i ++ ) {scanf( "%d", &x );if( x ) addedge( x, i ), addedge( i, x );}dfs1( 1, 0 );for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( MaxSiz[i] == Max ) {dfs2( i, 0 );Min = min( Min, f[i] );}mp[j] = Min;for( int i = 1;i <= j;i ++ )if( mp[i] == mp[j] ) {printf( "%d\n", i );break;}}return 0; }

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Ⅱ . 树哈希

多项式哈希，即 $[1,r]$ 的哈希值减去 $r-l+1$ 乘上 $[1,l]$ 的哈希值。

同理，有根树且儿子有顺序，哈希就是一一对应，正确的。

如果有根树且儿子没顺序，就按照儿子的哈希值排序后，再哈希。

有根树扩展到无根树也是寻找重心。

得出哈希值后暴力比较即可。

时间复杂度为 $O(nm\log n)$，瓶颈在于排序。（如果你不喜欢 $\log$，基排就行）

其实树哈希就是没有最小表示法的字符串相关操作带来的巨大复杂度而已。

哈希唯一的缺点就是会冲突，不能保证一定稳定，但也不至于很容易就被卡掉。

code

#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define int long long #define mod 1019260817 #define base 19491001 #define maxn 55 struct node { int to, nxt; }E[maxn << 1]; pair < int, int > f[maxn], g[maxn]; int Pow[maxn], Hash[maxn], head[maxn], siz[maxn], MaxSiz[maxn], dep[maxn]; int n, m, cnt, rt1, rt2, Max;void addedge( int u, int v ) {E[cnt] = { v, head[u] };head[u] = cnt ++; }void dfs1( int u, int fa ) {siz[u] = 1;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) {int v = E[i].to;if( v == fa ) continue;dfs1( v, u );siz[u] += siz[v];MaxSiz[u] = max( MaxSiz[u], siz[v] );}MaxSiz[u] = max( MaxSiz[u], n - siz[u] );if( MaxSiz[u] < Max ) Max = MaxSiz[u], rt1 = u, rt2 = 0;else if( MaxSiz[u] == Max ) rt2 = u; }void dfs2( int u, int fa ) {Hash[u] = Pow[siz[u] = 1] * dep[u] % mod;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt ) if( E[i].to ^ fa ) dep[E[i].to] = dep[u] + 1, dfs2( E[i].to, u );int tot = 0;for( int i = head[u];~ i;i = E[i].nxt )if( E[i].to ^ fa ) g[++ tot] = { Hash[E[i].to], siz[E[i].to] };sort( g + 1, g + tot + 1 );for( int i = 1;i <= tot;i ++ )Hash[u] = ( Hash[u] + g[i].first * Pow[siz[u]] ) % mod, siz[u] += g[i].second; }signed main() {Pow[0] = 1;for( int i = 1;i < maxn;i ++ ) Pow[i] = Pow[i - 1] * base % mod;scanf( "%lld", &m );for( int k = 1;k <= m;k ++ ) {memset( MaxSiz, 0, sizeof( MaxSiz ) );memset( head, -1, sizeof( head ) );cnt = 0; Max = mod;scanf( "%lld", &n );for( int i = 1, x;i <= n;i ++ ) {scanf( "%lld", &x );if( x ) addedge( i, x ), addedge( x, i );}dfs1( 1, 0 );dep[rt1] = 1;dfs2( rt1, 0 );f[k].first = Hash[rt1];if( ! rt2 ) goto pass;dep[rt2] = 1;dfs2( rt2, 0 );f[k].second = Hash[rt2];if( f[k].first > f[k].second ) swap( f[k].first, f[k].second );pass : ; }for( int i = 1;i <= m;i ++ )for( int j = 1;j <= i;j ++ )if( f[i] == f[j] ) { printf( "%lld\n", j ); break; }return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的树的同构模板题（法1.最小表示法+法2.树哈希）的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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