Acwing202. 最幸运的数字

Acwing202. 最幸运的数字

题意：

现在给定一个正整数 L，请问至少多少个 8 连在一起组成的正整数（即最小幸运数字）是 L 的倍数。

题解：

x个8连在一起组成的正整数可写作$8(10^x-1)/9$。现在要求一个最小的x，满足$L|\frac{8(10^x-1)}{9}$.
$L|\frac{8(10^x-1)}{9}$=$9L|8(10^x-1)$
我们设d=gcd(L,8)
有：gcd(L/d,8/d)=1
说明8/d与L/d互质
8(10^x-1)是9L的质数，有$\frac{9L}{d}|\frac{8}{d}(10^x-1)$
因为8/d与L/d互质，所以$\frac{9L}{d}|(10^x-1)$
再推导有：$10^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\frac{9L}{d})$
引理：
若正整数a,n互质，则满足$a^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$的最小正整数x0是$\varphi (n)的约数$
所以我们只需要求出欧拉函数$\varphi (\frac{9L}{d})$，枚举它的所有约数，用快速幂判断是否符合条件即可。时间复杂度是$O(\sqrt{L}\log L)$
时间没问题，但是注意，你的longlong会被下面数据爆掉，所以要用到一个小技巧，叫龟速乘

1999999999 1213131311 1242342334 0

龟速乘其实就是把快速幂中乘法部分展开，将乘法转成加法做，每次运算都取mod，这样就不会爆

代码：

#include <bits/stdc++.h> #include <unordered_map> #define debug(a, b) printf("%s = %d\n", a, b); using namespace std; typedef long long ll; typedef unsigned long long ull; typedef pair<int, int> PII; clock_t startTime, endTime; //Fe~Jozky const ll INF_ll= 1e18; const int INF_int= 0x3f3f3f3f; void read(){}; template <typename _Tp, typename... _Tps> void read(_Tp& x, _Tps&... Ar) {x= 0;char c= getchar();bool flag= 0;while (c < '0' || c > '9')flag|= (c == '-'), c= getchar();while (c >= '0' && c <= '9')x= (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c= getchar();if (flag)x= -x;read(Ar...); } template <typename T> inline void write(T x) {if (x < 0) {x= ~(x - 1);putchar('-');}if (x > 9)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0'); } void rd_test() { #ifdef LOCALstartTime= clock();freopen("in.txt", "r", stdin); #endif } void Time_test() { #ifdef LOCALendTime= clock();printf("\nRun Time:%lfs\n", (double)(endTime - startTime) / CLOCKS_PER_SEC); #endif } ll mul(ll a, ll b, ll mod) {ll ans= 0;while (b) {if (b & 1)ans= (ans + a) % mod;a= (a + a) % mod;b>>= 1;}return ans; } ll poww(ll a, ll b, ll mod) {ll ans= 1;while (b) {if (b & 1)ans= mul(ans, a, mod) % mod;a= mul(a, a, mod) % mod;b>>= 1;}return ans % mod; } ll phi(ll n) {ll ans= n;for (int i= 2; i <= sqrt(n); i++) {if (n % i == 0) {ans= ans / i * 1ll * (i - 1);while (n % i == 0)n/= i;}}if (n > 1)ans= ans / n * 1ll * (n - 1);return ans; } int main() {//rd_test();ll l;int cas= 0;while (cin >> l) {if (l == 0)break;ll mod= l / __gcd(8ll, l) * 9ll;ll p= phi(mod);ll ret= 1e18;for (ll x= 1; x <= sqrt(p); x++) {if (p % x != 0)continue;if (poww(10, x, mod) == 1)ret= min(ret, x);if (poww(10, p / x, mod) == 1)ret= min(ret, p / x);}printf("Case %d: ", ++cas);printf("%lld\n", ret == 1e18 ? 0 : ret);}return 0;//Time_test(); } 创作挑战赛新人创作奖励来咯，坚持创作打卡瓜分现金大奖

总结

以上是生活随笔为你收集整理的Acwing202. 最幸运的数字的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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