【洛谷P4707】重返现世【扩展Min-Max容斥】【dp】

传送门

题意：$N$种物品，每次第$i$种产生概率为$\frac{p_i}{M}$,$\sum p_i=M$。求生成$K$种不同物品的期望时间 模$998244353$

$N\le 1000,M\le 10000,N-K\le 10$

又是神仙题……

套路性地把每个物品出现的时间丢到一个集合$S$里面，我们要求的是集合第$N-K+1$大

而最小是随便求的

所以魔改一下Min-Max容斥

假设存在$f(x)$满足

$$\underset{k}{\max }(S)=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)\min (T)$$

考虑第$m+1$大的数产生的贡献

$$\sum _{i=0}^m{C}_m^{i}f(i+1)$$

我们希望第$k$大的数贡献一次 即

$$[m=k-1]=\sum _{i=0}^m{C}_m^{i}f(i+1)$$

二项式反演一波

$$F(m)=[m=k-1],G(i)=f(i+1)$$

$$F(m)=\sum _{i=0}^m{C}_m^{i}G(i)$$

$$G(m)=\sum _{i=0}^m(-1{)}^{m-i}{C}_m^{i}F(i)$$

$$f(m+1)=(-1{)}^{m-k+1}{C}_m^{k-1}$$

$$f(m)=(-1{)}^{m-k}{C}_{m-1}^{k-1}$$

所以

$$\underset{k}{\max }(S)=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|-k}{C}_{|T|-1}^{k-1}\min (T)$$

当然是期望下的

子集最小可以随便求，所以考虑前面那坨怎么搞

考虑dp

定义状态$dp(i,j,k)$表示从前$i$个物品选出$p$的和为$j$作为$T$的$(-1{)}^{|T|-k}{C}_{|T|-1}^{k-1}$的和

考虑转移

不选当前点 即$dp(i-1,j,k)$

选当前点 即

$$\sum _{i\in T}(-1{)}^{|T|-k}{C}_{|T|-1}^{k-1}$$

把$i$丢掉

$$\sum _T(-1{)}^{|T|-k+1}{C}_{|T|}^{k-1}$$

注意此时的$T$在前$i-1$个中选

由于前后的$T$不统一，无法转移，所以……拆组合数

$$\sum _T(-1{)}^{|T|-k+1}{C}_{|T|-1}^{k-1}+\sum _T(-1{)}^{|T|-k+1}{C}_{|T|-1}^{k-2}$$

$$-\sum _T(-1{)}^{|T|-k}{C}_{|T|-1}^{k-1}+\sum _T(-1{)}^{|T|-k+1}{C}_{|T|-1}^{k-2}$$

再次强调是前$i-1$个中选的

所以就是

$$dp(i,j,k)=dp(i-1,j,k)+dp(i-1,j-p_i,k-1)-dp(i-1,j-p_i,k)$$

然而还有个让人头大的边界问题

当$j<p_i$也就是不能选当前点 $dp(i,j,k)=dp(i-1,j,k)$

当$j=p_i$

如果要选就是从空集转移过来，但空集代进去超过了人类的认知，所以直接用定义算

显然就是$|T|=1$

即$(-1{)}^{1-k}{C}_0^{k-1}=[k=1]$

所以$dp(i,j,k)=dp(i-1,j,k)+[k=1]$

$j>p_i$正常转移

滚动数组优化一下即可

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> using namespace std; const int MOD=998244353; typedef long long ll; int p[1005],dp[2][10005][15]; inline int qpow(int a,int p) {int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;}return ans; } #define inv(x) qpow(x,MOD-2) int main() {int N,K,M;scanf("%d%d%d",&N,&K,&M);K=N-K+1;for (int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&p[i]);int cur=1;for (int i=1;i<=N;i++){for (int j=0;j<p[i];j++)for (int k=1;k<=K;k++)dp[cur][j][k]=dp[cur^1][j][k];for (int k=1;k<=K;k++) dp[cur][p[i]][k]=dp[cur^1][p[i]][k]+(k==1);for (int j=p[i]+1;j<=M;j++)for (int k=1;k<=K;k++)dp[cur][j][k]=((ll)dp[cur^1][j][k]+dp[cur^1][j-p[i]][k-1]-dp[cur^1][j-p[i]][k]+MOD)%MOD;cur^=1;}int ans=0;for (int i=1;i<=M;i++) ans=(ans+(ll)dp[N&1][i][K]*M%MOD*inv(i)%MOD)%MOD;printf("%d",(ans+MOD)%MOD);return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【洛谷P4707】重返现世【扩展Min-Max容斥】【dp】的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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