【NOIP2017】逛公园【最短路DAG】【dp】【拓扑排序】

题意：给一张帯权有向图，求 $1$ 到 $n$ 长度不超过最短路长度 $+k$ 的路径条数 模 $P$。有无数条输出 $-1$ 。

$n\le 10^5,m\le 2\times 10^5,k\le 50$，边权非负

先往最短路图想

发现 $k$ 很小，考虑硬上 dp。

设 $f(u,k)$ 表示从 $u$ 到 $n$ 多走 $k$ 的路径数。

转移枚举下一步往哪里走。

$$f(u,k)=\sum _{(u,v)\in E}f(v,k-(w(u,v)+di{s}_u-di{s}_v))$$

其中 $di{s}_u$ 为 $1$ 到 $u$ 最短路长度。

在没有零边的基础上，右边这块 $w(u,v)+di{s}_u-di{s}_v$ 取 $0$ 当且仅当 $(u,v)$ 在最短路图上。因为这是个 DAG，所以在最短路图上跑拓扑排序，然后枚举 $k$ 更新就可以了。这样可以拿到 $70$ 分的好成绩。

有零边时可能会出现 $di{s}_n+k$ 内可达的零环，这样答案为无穷大。如果拓扑排序后点 $i$ 入度不为 $0$ 说明在零环上，此时如果 $di{s}_i+di{s}_i^{\prime }\le di{s}_n+k$ 就输出 $-1$。（$di{s}^{\prime }$ 为到 $n$ 的最短距离）

否则的话反正都走不到这里，直接把伪的拓扑序继续往后做。

复杂度 $O(n\log n+nk)$

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cctype> #include <algorithm> #include <utility> #include <queue> #define MAXN 100005 #define MAXM 200005 using namespace std; int n,m,k,P; inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=P? x+y-P:x+y;} inline int read() {int ans=0;char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans; } struct edge{int u,v,w;}e[MAXM]; int head[MAXN],nxt[MAXM],cnt; inline void addnode(int u,int v,int w) {e[++cnt]=(edge){u,v,w};nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt; } template<typename T,typename cmp=less<T> > struct heap {T val[MAXM];T* end;heap(){end=val;}inline bool empty(){return end==val;}inline void push(const T& v){*(end++)=v;push_heap(val,end,cmp());}inline T pop(){pop_heap(val,end,cmp());return *(--end);} }; typedef pair<int,int> pi; heap<pi,greater<pi> > q; int dis[MAXN],disn[MAXN],deg[MAXN]; inline void dij(int* dis,int s=1) {memset(dis,0x3f,sizeof(disn));dis[s]=0;q.push(make_pair(0,s));while (!q.empty()){int u=q.pop().second;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w<dis[e[i].v])dis[e[i].v]=dis[u]+e[i].w,q.push(make_pair(dis[e[i].v],e[i].v));} } int lis[MAXN],vis[MAXN],tim; void dfs(int u) {vis[u]=1;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w==dis[e[i].v]){++deg[e[i].v];if (!vis[e[i].v]) dfs(e[i].v);} } inline void topsort() {queue<int> q;tim=0;q.push(1);while (!q.empty()){int u=q.front();q.pop();lis[++tim]=u;for (int i=head[u];i;i=nxt[i])if (dis[u]+e[i].w==dis[e[i].v]&&(--deg[e[i].v]==0))q.push(e[i].v);} } int f[55][MAXN],u[MAXM],v[MAXM],w[MAXM]; int main() {for (int T=read();T;T--){cnt=tim=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt));memset(deg,0,sizeof(deg));memset(vis,0,sizeof(vis));n=read(),m=read(),k=read(),P=read();for (int i=1;i<=m;i++) u[i]=read(),v[i]=read(),w[i]=read(),addnode(v[i],u[i],w[i]);dij(disn,n);cnt=0;memset(head,0,sizeof(head));memset(nxt,0,sizeof(nxt)); for (int i=1;i<=m;i++) addnode(u[i],v[i],w[i]);dij(dis);dfs(1);topsort();int ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) if (deg[i]&&dis[i]+disn[i]<=dis[n]+k) {puts("-1");goto end;}memset(f,0,sizeof(f));f[0][n]=1;for (int t=0;t<=k;t++)for (int x=tim;x>=1;x--){int u=lis[x];for (int i=head[u];i;i=nxt[i]){int del=e[i].w-dis[e[i].v]+dis[u];if (t>=del) f[t][u]=add(f[t][u],f[t-del][e[i].v]);}}for (int i=0;i<=k;i++) ans=add(ans,f[i][1]);printf("%d\n",ans);end:;}return 0; }

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【NOIP2017】逛公园【最短路DAG】【dp】【拓扑排序】的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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