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• 题意：
• 思路：

题意：

一段长度为$n$的序列，你有红黄蓝绿四种颜色的砖块，问你铺砖的方案数，每块砖长度为$1$，其中红黄颜色个数必须为偶数。

思路：

考虑多重集合排列数：

所以我们构造四种颜色的指数生成函数，并转换成封闭式：
$f_{红}(x)=f_{黄}(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$f_{蓝}(x)=f_{绿}(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...=e^x$

将其乘起来得封闭式
$G=e^{2x}\ast \frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}=\frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4}$。
再将封闭式展开
由$e^x={\sum }_{i\ge 0}\frac{x^i}{i!}$，得$e^{kx}={\sum }_{i\ge 0}\frac{k^i{x}^i}{i!}$，即$G=\frac{1}{4}+\frac{{\sum }_{i\ge 0}(4^i+2^{i+1})\ast \frac{x^i}{i!}}{4}$，取指数为$n$的项，得系数$\frac{4^n+2^{n+1}}{4\ast n!}$，可以将常数项忽略，再乘上多重集合排列数的分子$n!$得$\frac{4^n+2^{n+1}}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}$，答案即为$4^{n-1}+2^{n-1}$，快速幂直接算一下即可。

// Problem: Blocks // Contest: Virtual Judge - POJ // URL: https://vjudge.net/problem/POJ-3734 // Memory Limit: 65 MB // Time Limit: 1000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math") //#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native") //#pragma GCC optimize(2) #include<cstdio> #include<iostream> #include<string> #include<cstring> #include<map> #include<cmath> #include<cctype> #include<vector> #include<set> #include<queue> #include<algorithm> #include<sstream> #include<ctime> #include<cstdlib> #include<cassert> #define X first #define Y second #define L (u<<1) #define R (u<<1|1) #define pb push_back #define mk make_pair #define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1) #define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1) #define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1)) #define db puts("---") using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); } //void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); } //void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL; typedef unsigned long long ULL; typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=10007,INF=0x3f3f3f3f; const double eps=1e-6;LL qmi(LL a,LL b) {LL ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;b>>=1;a=a*a%mod;}return ans%mod; }int main() { // ios::sync_with_stdio(false); // cin.tie(0); int _; cin>>_;while(_--) {int n; cin>>n;cout<<((1ll*qmi(4,n-1)+qmi(2,n-1))%mod)<<endl;}return 0; } /**/

总结

以上是生活随笔为你收集整理的POJ - 3734 Blocks 指数生成函数的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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