连续不等_第九讲 函数的连续性与函数的间断点

写在前面的话：

本讲主要内容讲了连续性的定义，及其三个衍生的表述方式，函数的几类间断点。

最后一个例题回顾了极限的保号性，是不是又有点生疏了？没关系，回过头再看看。反复研读，用心体会。

如果有错误的地方还请提出来，我会及时纠正。大家一起学习吧~

一、函数的连续性：

• 函数连续定义：设 在 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋近于零时，对应的函数增量 也趋近于零，即 ，则称函数 在 点连续。

注：① 我们把

写成 ，这样 就可以写成 ；

②根据极限差的运算法则（戳我了解），我们把

变换一下就可以得到 ，亦即 ,最终可得

③ 当

时， ，注释②中的 又可以写成

所以综合以上①②③三个注解，得出如下三个等价的定义：

设 在 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋近于零时， ，则函数 在 点连续；

设 在 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋近于零时， ，则函数 在 点连续；

设 在 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋近于零时， ，则函数 在 点连续。

更多的情况下，我们一般使用第3个等价定义，我们用

语言来描述第3个等价定义：

设

在 的某邻域内有定义。如果对任意的 ，总存在正数 ，使当 （相较极限定义中 ，少了左半边大于 的部分，这样保证了 可以取值为 ，即 存在）时，不等式 ，对比极限定义，有 ，再根据本文第3个等价定义，也就恰好证明了函数 在 点连续。

• 函数的单侧连续概念：

如果函数

左极限 存在且等于 ，则称 在 点左连续；如果右极限 存在且等于 ，则称 于 点右连续。

注：①函数在一点连续的充要条件是在该点处既左连续又右连续。

② 如果函数

在开区间 内每一点连续，则称 是开区间 上的连续函数，或称 在开区间 上连续；函数 在闭区间 连续，是指 在开区间 连续，且于左端点 右连续，右端点 左连续。关于左右端点连续的描述如下图所示：

连续函数的例子：

（1）若

是多项式函数，我们前面证明过（戳我了解），对任意的 ，有 ，亦即多项式函数在任意一点处的极限值都等于该点处的函数值，故多项式函数于 内连续。

（2）若

为有理函数，由前面的证明知（戳我了解），只要 ，便有 ，因此有理函数在其定义域内是连续的。

（3）函数

在 内连续，下面给出证明：

证明：设

是区间 内任意一点，当 有增量 时，对应函数的增量 ，由三角函数和差化积公式（戳我了解）

我们在第七讲重要极限1的证明过程中已经利用单位圆解释过（戳我了解），对于任意角度

,当 时有 ，所以 即有不等式 ，对此不等式使用夹逼准则（戳我了解）可知，当 时， ，根据函数连续定义知，函数 在 上是连续的。

（4）函数

在 上连续，证明过程与(3)中类似。

二、函数的间断点

设函数

在 的某去心邻域内有定义。如果 有下列三种情形之一：

1.在

处没有定义；

2.虽然在

处有定义，但 不存在；

3.虽然在

处有定义，且 存在 ，但 ；

则函数

在 处不连续，称 为 的间断点。

注：实际上，以上三点本质上就是破坏了函数连续定义中

的三种不同情况，破坏了这个等式肯定就不连续了，从而是间断的了。

例1.正切函数

在 处没有定义，所以破坏了等式 ，故 是 的间断点。又 ，故称 为 的无穷间断点。

例2.函数

在点 处没有定义，当 时， ，函数值在 和 之间变动无限多次，所以 称为函数 的振荡间断点。

例3.函数

在点 ，没有定义，所以函数在 不连续，但 ，如果补充点 ，则函数在 处就连续了，所以 为该函数的可去间断点。

例4.函数

在 处有定义 ，又 ，所以 是 的间断点。但如果改变 在 处的函数值： ，则 于 点处连续，所以 是 的可去间断点。

例5.函数

在 处有定义， ，且 ，左右极限都存在但是不相等，故 是 的间断点。因为 的图形在 有跳跃现象，故称 是 的跳跃间断点。

以上我们讨论了无穷间断点、振荡间断点、可去间断点和跳跃间断点。那么我们通常把这些间断点分为两大类：

① 如果

是 的间断点，左极限 与右极限 都存在（不一定相等），则称 为第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）。

②如果

左右极限有一个不存在或两个都不存在，则称 为第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点）。

下面再补充一个例题：

例6：证明函数

在点 处连续且 ，则存在 的某邻域 ，使当 时， 。

证明：由于

于 处连续，所以 ，由第七讲中极限的保号性定理之定理1'（戳我了解），存在 的某去心邻域 ，使当 时， ，故当 时， 。

总结

以上是生活随笔为你收集整理的连续不等_第九讲 函数的连续性与函数的间断点的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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