ker矩阵是什么意思_第五课：初等矩阵及酉矩阵

初等矩阵的一般形式

我们先上一个初等矩阵的直观的例子。

我们在《线性代数》这门课程中所学的初等阵是指单位阵经过初等变换之后所得到的矩阵，下面我们给出更高级的定义：

下面我们对重新定义的初等矩阵就其性质进行学习：

性质2所要表达的意思是，如果u和v垂直，那么1是初等阵的n重特征值，如果u和v不垂直，1是初等阵的n-1重特征值。

事实上，所有的初等变换矩阵，都可以写成E(u，v；

)的形式。

初等酉阵

定义：设

H(u)=E(u，u；2)= 称为初等酉阵，或Householder矩阵。

这里我们可以将u看成是单位列向量，由定义我们可以看出初等酉矩阵实际上就是一种特殊的初等矩阵。也就是在酉空间里定义初等阵。

我们下面来讨论一下初等酉阵的性质。

对于正交阵我们有

类比的，对于酉矩阵我们有

对于初等酉矩阵而言，我们容易演绎而得

，只需按照定义带入即可验证。酉矩阵对我们而言并不应当是陌生的，他只是《线性代数》中的正交阵的一个推广。

下面我们具体讨论一下这个Householder变换的一些特性

对于第（1）条性质，我们可以根据对称阵的性质加以理解，下面我们重点说一下性质（2），镜像变换性质在之前没有碰见过。

镜像变换就像照镜子一样，具有很好的对称性。这是一个很好的性质，将来肯定有很多奇特的用处。我们现在具体说一下：

此图就是该性质的几何解释。我们来证明一下：

对于Householder变换我们有如下特性：

酉变换与酉矩阵

在具体介绍酉变换之前我们还是先正交阵。

正交阵构成的线性变换称之为正交变换：y=Qx

类比我们有：酉矩阵构成的线性变换称之为酉变换。

对于正交变换所具有的性质，通常酉变换也会具有类似的性质，我们下面具体说一下：

（1）保内积不变

（2）保长度不变

（3）保向量夹角不变

由保内积不变和保长度不变，我们可以知正交变换保向量夹角不变。

（4）保形状不变

综上我们有保形状不变。

我们在空间中之所以要引入内积的概念是为了方便对空间中的长度、夹角和距离进行度量。因此定义内积的方法并不唯一，内积定义不一定是要对应元素相乘相加。我们之前所说的内积实际上是笛卡尔积，还是许多其他定义内积的方法。

我们可以在任意C[a,b]上定义内积（C：constant连续）

C[a,b]在闭区间[a,b]上所有连续函数的全体，构成了线性空间。

总结

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