排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现之近似熵

说明：“本博文为排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现”系列博文的最后一篇，关于排列熵、模糊熵、样本熵的内容请阅读博客：

排列熵

模糊熵

样本熵

近似熵

• • 四、近似熵
  • • 1.简介
    • 2.基本原理
    • 3.MATLAB代码
    • 参考文献

四、近似熵

1.简介

近似熵（approximate entropy，ApEn）可以定量描述时间序列的复杂程度，序列的复杂性越大，相应的近似熵也越大。近似熵的值受数据量的影响较小，对于非平稳、非线性序列的量化结果稳定，在实际工程中得以广泛应用。

2.基本原理

设有长度为 $N$ 的时间序列$X=[x_1,x_2,\dots ,x_N]$，其近似熵的计算步骤如下：
Step1：将时间序列 $X$ 的元素按顺序排列为具有 $m$ 维数的向量，即
$$X_i=[x(i),x(i+1),...,x(i+m-1)]$$
式中，$i=1,2,\dots ,N-m+1$。
Step2：定义 $d[X_i,X_j]$ 为向量 $X_i$ 与 $X_j$ 的距离，则：
$$d[X_i,X_j]=max|x(i+k)-x(j+k)|，k\in (0,m-1)$$
Step3：记 $B_i$ 为 $d[X_i,X_j]\le r$的个数( $r$ 为相似容限)，并计算 $B_i$ 与全部矢量数 $N-m+1$ 的比值，即：
$$B_i^m(r)=\frac{B_i}{N-m+1}$$
Step4：对 $B_i^m(r)$ 进行取对数运算，再求其对所有 $i$ 的平均值，记作 $B^m(r)$ ，则有：
$$B^m(r)=\frac{1}{N-m+1}\sum _{i=1}^{N-m+1}ln{B}_i^m(r)$$
Step5：令 $m=m+1$，并重复 Step1~Step4，即可得到 $B^{m+1}(r)$ 。
Step6：理论上，此序列的近似熵为：
$$ApEn(m,r)=lim[B^m(r)-B^{m+1}(r)]，N\to \infty$$
对于实际的序列，$N$ 不可能趋近无穷大，因此近似熵可表示为：
$$ApEn(m,r,N)=B^m(r)-B^{m+1}(r)$$
近似熵本质上是一个关于序列和参数的统计值，它的大小与数据长度 $N$ 、嵌入维数 $m$ 和相似容限 $r$ 有关。为了得到较好的统计特性以及较小的误差， 数据长度$N$ 通常在100～5000 取值，嵌入维数 $m$ 一般取 1 或 2，相似容限 $r$ 取(0.1～0.25)*$std$，$std$ 为序列的标准差。

3.MATLAB代码

% 主程序 clc; clear; close all;%% 产生仿真信号 fs = 1000; % 数据采样率 t = (0:1/fs:(1-1/fs)); % 时间 x = cos(50*pi*t+sin(5*pi*t)); % 数据%% 画图 figure; plot(t,x); xlabel('t/s');ylabel('幅值');title('信号的时域波形');%% 求仿真信号x的近似熵 m = 2; % 嵌入维数 r0 = 0.2; % 相似容限的系数 r = r0*std(x); % 相似容限 appEn = ApproximateEntropy(m,r,x); % 近似熵 % 求近似熵的函数 function appEn = ApproximateEntropy(dim, r, data, tau) % 近似熵算法的提出者：Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301. % Input: % dim：嵌入维数(一般取1或者2) % r：相似容限( 通常取0.1*Std(data)~0.25*Std(data) ) % data：时间序列数据，data须为1xN的矩阵 % tau：下采样延迟时间（在默认值为1的情况下，用户可以忽略此项） % Output: % appEn：所求数据的近似熵 if nargin < 4tau = 1; end if tau > 1data = downsample(data, tau); endN = length(data); result = zeros(1,2);for m = dim:dim+1Bi = zeros(N-m+1,1);dataMat = zeros(N-m+1,m);% 设置数据矩阵，构造成m维的矢量for i = 1:N-m+1dataMat(i,:) = data(1,i:i+m-1);end% 利用距离计算相似模式数for j = 1:N-m+1% 计算切比雪夫距离，包括自匹配情况dist = max(abs(dataMat - repmat(dataMat(j,:),N-m+1,1)),[],2);% 统计dist小于等于r的数目D = (dist <= r);% 包括自匹配情况Bi(j,1) = sum(D)/(N-m+1);end% 求所有Bi的均值result(m-dim+1) = sum(log(Bi))/(N-m+1);end % 计算得到的近似熵值 appEn = result(1)-result(2);end

参考文献

[1] 近似熵理论相关知识与代码实现
[2] Pincus S M . Approximate entropy as a measure of system complexity[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences ,1991,88(6):2297—2301.

总结

以上是生活随笔为你收集整理的排列熵、模糊熵、近似熵、样本熵的原理及MATLAB实现之近似熵的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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