利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简

我们知道平面上二次曲线的一般方程是：
$$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{1}x+2a_{2}y+a_0=0，（1）$$
其中$$a_{11},a_{12},a_{22}$$不全为零。
我们常用的一个方法是先利用转轴变换，坐标旋转角则可用以下公式得到：
$$cot(2\theta )=\frac{a_{11}-a_{22}}{a_{12}}，（2）$$
但是之后的过程略显复杂，故本文采用不变量的方法来对二次曲线方程进行化简，并将结合MATLAB进行实现。

1.数学原理

二次曲线的不变量和半不变量为：
$$I_1=a_{11}+a_{22}，（3）$$
$$I_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|，（4）$$
$$I_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_1\\ a_{12}& a_{22}& a_2\\ a_1& a_2& a_0\end{array}\right|，（5）$$
$$K_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_1\\ a_1& a_0\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_2\\ a_2& a_0\end{array}\right|，（6）$$
可以由不变量和半不变量就能完全确定二次曲线的类型和形状，即为二次曲线的化简式，如下表【1】所示：

型别类别识别标记化简后方程

椭圆型 $$I_2>0$$	(1) 椭圆; (2) 虚椭圆; (3) 一个点	$$I_3与I_1异号$$$$I_3与I_1同号$$$$I_3=0$$	$${\lambda }_1{x}^{{\ast }^2}+{\lambda }_2{y}^{{\ast }^2}+\frac{I_3}{I_1}=0$$$$其中{\lambda }_1，{\lambda }_2是多项式$$$${\lambda }^2-I_1\lambda +I_2的两个实根$$
双曲型 $$I_2<0$$	(4) 双曲线； (5) 一对相交直线	$$I_3̸=0$$$$I_3=0$$	同上
抛物型 $$I_2=0$$	(6) 抛物线	$$I_3̸=0$$	$$I_1{y}^{{\ast }^2}\pm 2\sqrt{\frac{-I_3}{I_1}}{x}^{\ast }=0$$
同上	(7) 一对平行直线; (8) 一对虚平行直线； (9) 一对重合直线	$$I_3=0,K_1<0$$$$I_3=0,K_1>0$$$$I_3=0,K_1=0$$	$$I_1{y}^{{\ast }^2}+\frac{K_1}{I_1}=0$$

【表1】 二次曲线的不变量与曲线的类型和形状的关系

2.代码实现

MATLAB 中可以提取方程左端展开后的多项式的系数，在由系数计算不变量和半不变量，对比【表1】得到二次曲线方程的化简后方程，代码如下：

在运行时输入二次曲线方程 f(x,y) = 0 的左端，运行结果示例如下图所示：

代码文件可以在下面链接中下载：
https://download.csdn.net/download/m0_43484109/10861992

总结

以上是生活随笔为你收集整理的利用MATLAB进行二次曲线方程的正交变换化简的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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