特征值与特征向量（一）

定义1：

设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数存在一个非零向量，使得那么称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量。

从几何上来看,特征向量的方向经过线性变换后，保持在同一条直线上,这时或者方向不变(λ。>0) ,或者方向相反(λ。<0),至于λ。=0时,特征向量就被线性变换变成零向量。（零向量不是特征向量）
如果ξ是线性变换的属于特征值的特征向量,那么ξ的任何一个非零倍数kξ也是的属于的特征向量.因为从式可以推出
特征向量不是被特征值所唯一决定的，特征值却是被特征向量所唯一决定的 ,因为，一个特征向量只能属于一个特征值。

 

定义2：

  设是数域P上一n级矩阵,λ是一个文字，矩阵的行列式

称为A的特征多项式,这是数域P上的一个n次多项式。
如果λ。是线性变换A的特征值,那么λ。一定是矩阵A的特征多项式的一个根;反过来，如果λ。是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即| λE -A | =0, 那么齐次线性方程组

（1）

就有非零解.这时，如果()是方程组(1)的一个非零解，那么非零向量

满足,即λ。是线性变换的一个特征值，ξ就是属于特征值的一个特征向量。

确定一个线性变换的特征值与特征向量的方法：

1.在线性空间V中取一组基写出在这组基下的矩阵A;（）
2.求出A的特征多项式| λE -A | 在数城P中全部的根，它们也就是线性变换的全部特征值;
3.把所求得的特征值逐个地代人方程组(1),对于每一个特征值,解方程组(1),求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.

矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值,而相应的线性方程组(1)的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量.

 

 

总结

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