差分 差分方程

• 差分 差分方程
• • 1. 差分
  • • 1.1 前向差分（默认）
    • 1.2 后向差分
    • 1.3 中心差分
  • 2. 差分方程

差分 差分方程

1. 差分

差分（difference）又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)-f(x+b)$ 。

差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。

总而言之，差分对应离散，微分对应连续。

差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。

在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。

读者熟悉等差数列：$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n$，其中 $a_{n+1}=a_n+d（n=1,2,\cdots ,n）$，$d$ 为常数并称为公差， 即 $d=a_{n+1}-a_n$ , 这就是一个差分, 通常用 $D(a_n)=a_{n+1}-a_n$ 来表示，于是有 $D(a_n)=d$ , 这是一个最简单形式的差分方程。

定义. 设变量 $y$ 依赖于自变量 $t$ ,当 $t$ 变到 $t+1$ 时,因变量 $y=y(t)$ 的改变量 $Dy(t)=y(t+1)-y(t)$ 称为函数 $y(t)$ 在点 $t$ 处步长为1的(一阶)差分，记作 $Dy1=y(t+1)-y(t)$，简称为函数 $y(t)$ 的(一阶)差分,并称 $D$ 为差分算子。

差分具有类似于微分的运算性质。

1.1 前向差分（默认）

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 $f(x)$，如果在等距节点： $$x_k=x_0+kh,(h=0,1,\cdots ,n)$$$$\Delta f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)$$

则称 $\Delta f(x_k)$，函数在每个小区间上的增量 $y(x_{k+1})-y(x_k)$ 为 $f(x)$ 的一阶前向差分。

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。

差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为 $\Delta$ 算子，一种线性运算。

前向差分会将多项式阶数降低1。

1.2 后向差分

对于函数 $f(x_k)$，一阶后向差分为：$$\Delta f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1})$$

1.3 中心差分

对于函数 $f(x_k)$，一阶中心差分为：$$\Delta f(x_k)=\frac{1}{2}(f(x_{k+1})-f(x_{k-1}))$$

2. 差分方程

differences equations

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。

比如 $dy+y\ast dx=0,y(0)=1$ 是一个微分方程， $x$ 取值 $[0,1]$ （注：解为 $y(x)=e^{-x})$; 　要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],…[(n-1）/n,1] 　这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,…,n-1 （n 个离散方程组） 　利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

From: 差分-百度百科

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【数理知识】差分 差分方程的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。