文章目录

• 3. Control Protocol and Network Dynamics
• 4. Network with Fixed Topology
• • • • 定理 1
      • Remark 1
      • Lemma 2
      • 证明 Lemma 2
      • 证明 定理 1

3. Control Protocol and Network Dynamics

在本节中，我们将介绍解决上述平均一致性问题的控制协议。我们将使用固定拓扑和无通信时延的线性协议:

$$u_i=u_{i1}+u_{i2}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中
$$u_{i1}=k{v}_i\text{\hspace{1em}(6)}$$

是有着反馈增益 $k$ 的本地速度反馈，反馈增益之后会来设计，并且

$$u_{i2}=\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(x_j-x_i)\text{\hspace{1em}(7)}$$

是节点 $v_i$ 的邻居对应的部分，在拓扑固定的网络中是恒定的，在拓扑切换的网络中是可变的。

通过使用协议（5），智能体动力学可写成如下形式：

$$\begin{array}{rl}{\dot{x}}_i& =v_i\\ m{\dot{v}}_i& =k{v}_i+\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}(x_j-x_i)\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

定义
$${\xi }_i=[x_i,v_i{]}^{\text{T}}$$

我们有
$${\dot{\xi }}_i=A{\xi }_i+BK{\xi }_i+BF\sum _{j\in N_i}{a}_{ij}({\xi }_j-{\xi }_i)\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 $A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，$K=\left[\begin{array}{cc}0& k\end{array}\right]$，$F=\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$。

进一步，定义
$$\xi =\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ⋮\\ {\xi }_M\end{array}\right]$$

动力学模型描述为
$${\Phi }_{G(t)}=I_M\otimes (A+BK)-L_{G(t)}\otimes BF\text{\hspace{1em}(10)}$$

其中 $L_{G(t)}$ 是之前提到的关于 $t$ 时刻图 $G(t)$ 的拉普拉斯矩阵。

如果针对任意时间 $t$ 都有图 $G(t)\equiv G$，网络的动力学是一个线性时不变系统。否则的话，网络的动力学通常混合了连续状态 $\xi \in {\mathbb{R}}^{2M}$ 和离散状态 $G$。结构就是，网络成为一个典型的线性时间切换系统。

4. Network with Fixed Topology

本节，我们提供了具有固定拓扑网络的平均一致性的分析。

定理 1

考虑一个固定拓扑网络 $G$ 是连通图，假设所有初始速度都是 $0$，即 $v_i(0)=0$，那么针对任意的负增益 $k<0$，协议（5）全局渐进解决了平均一致性问题。

Remark 1

一个关于定理 1 更加通用的形式已经在文献 Tanner HG, Jadbabaie A, Pappas GJ. Stable flocking of mobile agents, part I: fixed topology. Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, Hyatt Regency Maui, HI, U.S.A., vol. 2. 2003; 2010–2015. 中用一个不同的方式进行了证明。

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在给出定理 1 的证明前，我们首先考虑 ${\lim }_{t\to \infty }\exp (\Phi t)$ 的解。

Lemma 2

假设图 $G$ 是连通的，那么对于任意 $k<0$，
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\exp (\Phi t)=w_r{w}_l^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(11)}$$

其中 $w_l,w_r$ 分别是 $\Phi$ 关于 $0$ 特征值的左特征向量和右特征向量。进一步地，
$$w_r=\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(12)}$$

$$w_l=\frac{1}{-k\sqrt{M}}{\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}-k& 1\end{array}{]}^{\text{T}}\text{\hspace{1em}(13)}$$

并且 $w_r^{\text{T}}{w}_l=1$。

证明 Lemma 2

首先，我们有
$$\begin{array}{rl}\Phi \frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}& =\frac{1}{\sqrt{M}}(I_M\otimes (A+BK)-L\otimes BF){\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}(I_M{\text{1}}_M)\otimes ((A+BK)[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}})-\frac{1}{\sqrt{M}}(L{\text{1}}_M)\otimes (BF[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}})\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{1}}_M\otimes {\text{0}}_2-\frac{1}{\sqrt{M}}{\text{0}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\\ & ={\text{0}}_{2M}\end{array}$$

这意味着 $w_r=1/\sqrt{M}{\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}$。

接下来

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现在我们给出定理 1 的证明。

证明 定理 1

根据引理 2，我们有
$$\xi (t)=\exp (\Phi t)\xi (0)$$

由此可见
$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \infty }{\lim }\xi (t)& =\underset{t\to \infty }{\lim }\exp (\Phi t)\xi (0)\\ & =w_r{w}_l^{\text{T}}\xi (0)\\ & =(w_l^{\text{T}}\xi (0))w_r\\ & =\frac{1}{\sqrt{M}}(w_l^{\text{T}}\xi (0)){\text{1}}_M\otimes [\begin{array}{cc}1& 0\end{array}{]}^{\text{T}}\end{array}$$

由于
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\sqrt{M}}(w_l^{\text{T}}\xi (0))& =\frac{1}{M}({\text{1}}_M^{\text{T}}\otimes [\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{k}\end{array}])[\begin{array}{ccccc}{x}_1(0)& v_1(0)& \cdots & x_M(0)& v_M(0)\end{array}]\\ & =\frac{1}{M}\sum _{i=1}^M(x_i(0)-\frac{v_i(0)}{k})\\ & =\text{Ave}(x_0)\end{array}$$

并且能够知道的是
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{v}_i(t)=0,i=1,2,\cdots ,M$$

这表明协议（5）全局渐进解决了平均一致性问题。完成了证明。

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的【Paper】2007_Consensus control for a class of networks of dynamic agents 二阶静态一致性的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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