【Paper】2021_Analysis of the Consensus Protocol of Heterogeneous Agents with Time-Delays
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Zhao, Jichao & Dai, Fengzhi & Yunzhong, Song. (2021). Analysis of the Consensus Protocol of Heterogeneous Agents with Time-Delays. Proceedings of International Conference on Artificial Life and Robotics. 26. 592-595. 10.5954/ICAROB.2021.OS13-1.
具体代码请参考Github，地址如下：
https://github.com/Jichao-Zhao/Analysis-of-the-Consensus-Protocol-of-Heterogeneous-Agents-with-Time-Delays
文章目录
- 摘要
- 1 介绍
- 2 预备知识
- 3 一致性协议
- 3.1 连续时间一致性协议
- 3.2 离散时间一致性协议
- 3.3 切换拓扑模型
- 3.4 时滞模型
- 4 仿真结果
- 5 结论
- Appendix
摘要
在实际工程应用中，对异构多智能体的一致性研究具有重要意义。多智能体的一致性主要包括平均一致性、最大一致性和最小一致性。本文研究了异构多智能体的平均一致性，包括连续时间一致性协议、离散时间一致性协议、有时间延迟的一致性和切换拓扑的一致性。利用图论的知识来描述系统，并对时延一致性和切换拓扑的结果进行了模拟和分析，来验证一致性协议的正确性和有效性。
1 介绍
多智能体系统（MAS）是一个由多个机器人在环境中互动的计算系统。合作的机器人可以用来完成单个机器人无法单独完成的任务。近年来，随着计算机技术和网络通信技术的发展，MAS作为分布式系统的一个主要分支，在分布式传感器网络1、网络拥堵控制2和成群运动3等领域得到了广泛发展。MAS的一致性控制是分布式系统中一个非常重要的研究课题。
目前，MAS的研究总体上还处于发展的初级阶段，离真正的应用还有一定距离。但是，它的广泛应用表明其具有巨大的发展潜力，这必将吸引更多的专家学者投入到这一领域的研究工作中来，进一步探索其理论和应用。学者投入到该领域的研究工作中，进一步探索MAS的理论和应用。
MAS具有主体数量多、感知分布广、沟通复杂等特点。主体之间往往存在着信息交互。因此，用图论来描述这种信息交互渠道是很自然的。一致性协议是一种代理人之间的互动规则，它反映了相邻智能体之间的信息交流过程。
本文通过分析具有惯性环节的MAS中各节点的状态，验证了智能体一致性协议的有效性以及一致性协议与图拉普拉斯矩阵之间的关系。拉普拉斯矩阵的代数连通性（费德勒特征值）和MAS的收敛率之间的关系通过仿真结果得到了验证。
2 预备知识
在本文中，图论被用来表示MAS。图 G=(V,E,A)G= (V,E,A)G=(V,E,A) 被用来表示智能体之间信息交换网络的拓扑结构。V={v1,v2,⋯,vn}V=\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}V={v1,v2,⋯,vn} 表示该图有 nnn 节点，系统是由 nnn 个多智能体组成。E⊆{(i,j):i,j∈V}E \subseteq \{(i,j): i,j\in V\}E⊆{(i,j):i,j∈V} 是关于 eije_{ij}eij 的边的集合，表示智能体 iii 和 jjj 之间存在信息交换，信息从 iii 到 jjj。A=[aij]A=[a_{ij}]A=[aij] 是图的邻接矩阵，表示 iii 和 jjj 之间信息交换的权重。为了简化计算，让 aij∈{0,1}a_{ij} \in \{0,1\}aij∈{0,1}。 请注意，在无向图中 aij=aija_{ij} = a_{ij}aij=aij，在有向图中 aij≠aija_{ij} \ne a_{ij}aij=aij。
邻居节点的集合 Ni={j∣j∈V:eij∈E}N_i = \{j | j\in V: e_{ij} \in E\}Ni={j∣j∈V:eij∈E}，表示由所有与智能体 iii 有信息交流的智能体组成的集合。在图中，它被表示为由连接到节点 iii 的有线段的节点组成的集合。节点 iii 的出度 degout(vi)\deg_{out}(v_i)degout(vi) 为从节点 iii 开始的边数。节点 iii 的入度 degin(vi)\deg_{in}(v_i)degin(vi) 是进入节点 iii 的边的数量。
矩阵 D∈Nn×nD \in N_{n \times n}D∈Nn×n 是度矩阵，定义为
{Dii=degout(i)Dij=0\left\{\begin{aligned} D_{ii} =& \deg_{out} (i) \\ D_{ij} =& 0 \\ \end{aligned}\right.{Dii=Dij=degout(i)0
图的拉普拉斯矩阵定义为
L=D−AL = D - AL=D−A
如图 1 所示，系统 GGG 有三个节点和四条边：V={v1,v2,v3},E={e12,e23,e31,e13}V = \{v_1, v_2, v_3\}, E = \{e_{12}, e_{23}, e_{31}, e_{13}\}V={v1,v2,v3},E={e12,e23,e31,e13}，拉普拉斯矩阵 LLL 等于
L=[200010001]−[011001100]=[2−1−101−1−101]L = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] - \left[\begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right]L=⎣⎡200010001⎦⎤−⎣⎡001100110⎦⎤=⎣⎡20−1−110−1−11⎦⎤
3 一致性协议
动态MAS的个体状态描述如下：
x˙i(t)=−1tixi(t)+kitiui(t),i=1,2,⋯,n.(1)\dot{x}_i (t)=-\frac{1}{t_i} x_i (t)+ \frac{k_i}{t_i} u_i (t), ~~~~ i=1, 2, \cdots, n. \tag{1}x˙i(t)=−ti1xi(t)+tikiui(t), i=1,2,⋯,n.(1)
其中 Ti,KiT_i, K_iTi,Ki 表示节点 iii 的不同系数，同时 Ti≠Tj,Ki≠Kj,∀i≠jT_i \ne T_j, K_i \ne K_j, \forall i \ne jTi=Tj,Ki=Kj,∀i=j。
系统达成一致，意味着系统中所有的个体状态都是平等的，数学上的代表为
xi=xj,∀i≠j,i=1,2,⋯,nx_i = x_j, \forall i \ne j, i=1,2,\cdots, nxi=xj,∀i=j,i=1,2,⋯,n 或 ui=0,i=1,2,⋯,nu_i = 0, i=1,2,\cdots, nui=0,i=1,2,⋯,n。
当通信拓扑结构 GGG 中存在有向生成树时，智能体之间可以实现信息交互以达成一致。因此，假定系统拓扑结构 GGG 包含有向生成树。
具体来说，一致性问题还包括平均一致性、最大一致性和最小一致性。但需要注意的是，如果图是无向或有向对称的，系统一致性就等同于平均一致性。但如果图是不对称的，系统的一致性就不等同于平均的一致性4。
3.1 连续时间一致性协议
针对连续时间系统（1），一致性协议为
ui(t)=∑j∈Niaij(xj−xi)(2)u_i (t)=\sum_{j∈N_i} a_{ij} (x_j-x_i) \tag{2}ui(t)=j∈Ni∑aij(xj−xi)(2)
当且仅当无向图是连通的或有向图存在生成树时，才能达成一致。在拓扑结构切换的情况下，一致性的条件是切换的拓扑图的联盟是无向连通图或有向图存在生成树。具体证明可以在文献中找到 [5]。
参考图 1 中的拓扑结构，（2）能描述为：
[u1u2u3]=[−2x1+x2+x3−x2+x3x1−x3]=−[2−1−101−1−101][x1x2x3]\left[\begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} -2 x_1 + x_2 + x_3 \\ -x_2 + x_3 \\ x_1 - x_3 \\ \end{matrix}\right] = - \left[\begin{matrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡u1u2u3⎦⎤=⎣⎡−2x1+x2+x3−x2+x3x1−x3⎦⎤=−⎣⎡20−1−110−1−11⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤
结合图拉普拉斯矩阵，（2）能转换为如下形式
u(t)=−L∗x(t)(3)u(t)=-L*x(t) \tag{3}u(t)=−L∗x(t)(3)
3.2 离散时间一致性协议
离散时间一致性协议为
xi(k+1)=xi(k)+ϵui(k)(4)x_i(k+1) = x_i(k) + \epsilon u_i(k) \tag{4}xi(k+1)=xi(k)+ϵui(k)(4)
其中 ϵ>0\epsilon >0ϵ>0 是步长，表示每一步的时间长度。
3.3 切换拓扑模型
由于拓扑网络不是固定的，因此有一个额外的切换信号 kkk 是时间 ttt 的函数。该协议如下
ui(t)=−Lk∗x(t),k=s(t)(5)u_i(t) = - L_k * x(t), ~~~ k = s(t) \tag{5}ui(t)=−Lk∗x(t), k=s(t)(5)
菲德勒特征值是图形的拉普拉斯矩阵的第二小的特征值，它与图形的收敛率呈正相关。如果费德勒特征值越大，系统的收敛速度就越快。相反，也存在同样的关系。
3.4 时滞模型
有时滞的一致性协议为
ui(t)=∑j∈Niaij(xj(t−τ)−xi(t−τ))(6)u_i(t) = \sum_{j \in N_i} a_{ij} (x_j(t-\tau) - x_i(t-\tau)) \tag{6}ui(t)=j∈Ni∑aij(xj(t−τ)−xi(t−τ))(6)
其中时滞 τ\tauτ 有一个阈值为 π2λn\frac{\pi}{2 \lambda_n}2λnπ。
针对一个具有相同时滞的网络，假设 GGG 是无向连通的。当且仅当时滞 τ\tauτ 满足 τ<π2λn,λn=λmax(L)\tau < \frac{\pi}{2 \lambda_n}, \lambda_n = \lambda_{\max} (L)τ<2λnπ,λn=λmax(L)， 系统能渐进达到一致。
4 仿真结果
给定一个MAS拓扑图，如图2所示，系统共有6个多能提，三种拓扑 Ga,Gb,GcG_a, G_b, G_cGa,Gb,Gc 都有相同的代理数量，但其拓扑结构有所不同。
令每个智能体的系统初始状态为 xix_ixi，如表 1 所示。注意，系统初始状态的平均值为 Ave(X0)=5≠0Ave(X_0) = 5 \ne 0Ave(X0)=5=0。然后，建立MAS中各节点的动态方程。动态方程参数 TiT_iTi 和 KiK_iKi 见表 1，参数服从随机高斯分布。建立系统状态微分方程，用软件工具对系统微分方程进行求解，得出系统收敛结果，如图 3 所示。
图2中，切换拓扑结构的顺序为 Ga−Gb−GcG_a -G_b-G_cGa−Gb−Gc，当 t=0t=0t=0 时，系统为拓扑结构 GaG_aGa，当 t=1t=1t=1 时，系统为拓扑结构 GbG_bGb，然后为 GcG_cGc，按此方式进行循环。
图 3 显示了MAS的无输入收敛图，系统的固定拓扑结构收敛和切换拓扑结构收敛。当没有输入时，系统的状态随其惯性链接而变化。当有输入时，拓扑结构 Ga,Gb,GcG_a, G_b, G_cGa,Gb,Gc 的费德勒特征值依次增加。并依次观察图中三个拓扑图的收敛速度，可以验证费德勒特征值与系统的收敛速度之间的正相关关系。
上文有一点错误，有想了解的可私信我\red{上文有一点错误，有想了解的可私信我}上文有一点错误，有想了解的可私信我
5 结论
在本文中，对MAS的一致性协议进行了梳理，并对每个协议进行了简单解释。本文举例说明了图论中多智能体系统和拉普拉斯矩阵之间的关系。对多智能体一致性协议进行了模拟，并结合图论和系统收敛图的知识对该协议进行了分析和验证。
全文到此结束，下边是自己的一些演算。\blue{全文到此结束，下边是自己的一些演算。}全文到此结束，下边是自己的一些演算。
Appendix
Substitute (1) into (3):
x˙(t)=−Fx(t)\dot{x} (t)=-Fx (t)x˙(t)=−Fx(t)
Where F=T+KL,T=diag(1/t1,1/t2,…,1/tn),K=diag(k1/t1,k2/t2,…,kn/tn)F=T+KL, ~T=\text{diag}(1/t_1,1/t_2,…,1/t_n),~K=\text{diag}(k_1/t_1,k_2/t_2,…,k_n/t_n )F=T+KL, T=diag(1/t1,1/t2,…,1/tn), K=diag(k1/t1,k2/t2,…,kn/tn).
Expand (Suppose we have three nodes) :
[x˙1x˙2x˙3]=[−1t1⋅x1−1t2⋅x2−1t3⋅x3]+[k1t1⋅u1k2t2⋅u2k3t3⋅u3]=[−1t1⋅x1−1t2⋅x2−1t3⋅x3]+[k1t1⋅(−l11x1−l12x2−l13x3)k2t2⋅(−l21x1−l22x2−l23x3)k3t3⋅(−l31x1−l32x2−l33x3)]=[−1t1⋅x1−1t2⋅x2−1t3⋅x3]+[−k1t1l11⋅x1−k1t1l12⋅x2−k1t1l13⋅x3−k2t2l21⋅x1−k2t2l22⋅x2−k2t2l23⋅x3−k3t3l31⋅x1−k3t3l32⋅x2−k3t3l33⋅x3]=[−1t1−1t2−1t3][x1x2x3]+[−k1t1l11−k1t1l12−k1t1l13−k2t2l21−k2t2l22−k2t2l23−k3t3l31−k3t3l32−k3t3l33][x1x2x3]=[−1t1−1t2−1t3][x1x2x3]+[k1t1k2t2k3t3][−l11−l12−l13−l21−l22−l23−l31−l32−l33][x1x2x3]=(−T)⋅X+(K)⋅(−L)⋅X=(−T−KL)⋅X\begin{aligned} \left[\begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} \cdot x_1 \\ -\frac{1}{t_2} \cdot x_2 \\ -\frac{1}{t_3} \cdot x_3 \\ \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} \frac{k_1}{t_1} \cdot u_1 \\ \frac{k_2}{t_2} \cdot u_2 \\ \frac{k_3}{t_3} \cdot u_3 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} \cdot x_1 \\ -\frac{1}{t_2} \cdot x_2 \\ -\frac{1}{t_3} \cdot x_3 \\ \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} \frac{k_1}{t_1} \cdot (-l_{11} x_1 - l_{12} x_2 - l_{13} x_3) \\ \frac{k_2}{t_2} \cdot (-l_{21} x_1 - l_{22} x_2 - l_{23} x_3) \\ \frac{k_3}{t_3} \cdot (-l_{31} x_1 - l_{32} x_2 - l_{33} x_3) \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} \cdot x_1 \\ -\frac{1}{t_2} \cdot x_2 \\ -\frac{1}{t_3} \cdot x_3 \\ \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} -\frac{k_1}{t_1} l_{11} \cdot x_1 - \frac{k_1}{t_1} l_{12} \cdot x_2 - \frac{k_1}{t_1} l_{13} \cdot x_3 \\ -\frac{k_2}{t_2} l_{21} \cdot x_1 - \frac{k_2}{t_2} l_{22} \cdot x_2 - \frac{k_2}{t_2} l_{23} \cdot x_3 \\ -\frac{k_3}{t_3} l_{31} \cdot x_1 - \frac{k_3}{t_3} l_{32} \cdot x_2 - \frac{k_3}{t_3} l_{33} \cdot x_3 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} & & \\ & -\frac{1}{t_2} & & \\ && -\frac{1}{t_3} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} -\frac{k_1}{t_1} l_{11} & - \frac{k_1}{t_1} l_{12} & - \frac{k_1}{t_1} l_{13} \\ -\frac{k_2}{t_2} l_{21} & - \frac{k_2}{t_2} l_{22} & - \frac{k_2}{t_2} l_{23} \\ -\frac{k_3}{t_3} l_{31} & - \frac{k_3}{t_3} l_{32} & - \frac{k_3}{t_3} l_{33} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} & & \\ & -\frac{1}{t_2} & & \\ && -\frac{1}{t_3} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} \frac{k_1}{t_1} & & \\ & \frac{k_2}{t_2} & \\ & & \frac{k_3}{t_3} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} -l_{11} & -l_{12} & -l_{13} \\ -l_{21} & -l_{22} & -l_{23} \\ -l_{31} & -l_{32} & -l_{33} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{matrix}\right] \\ &=(-T) \cdot X + (K) \cdot (-L) \cdot X \\ &=(-T-KL) \cdot X \end{aligned}⎣⎡x˙1x˙2x˙3⎦⎤=⎣⎡−t11⋅x1−t21⋅x2−t31⋅x3⎦⎤+⎣⎢⎡t1k1⋅u1t2k2⋅u2t3k3⋅u3⎦⎥⎤=⎣⎡−t11⋅x1−t21⋅x2−t31⋅x3⎦⎤+⎣⎢⎡t1k1⋅(−l11x1−l12x2−l13x3)t2k2⋅(−l21x1−l22x2−l23x3)t3k3⋅(−l31x1−l32x2−l33x3)⎦⎥⎤=⎣⎡−t11⋅x1−t21⋅x2−t31⋅x3⎦⎤+⎣⎢⎡−t1k1l11⋅x1−t1k1l12⋅x2−t1k1l13⋅x3−t2k2l21⋅x1−t2k2l22⋅x2−t2k2l23⋅x3−t3k3l31⋅x1−t3k3l32⋅x2−t3k3l33⋅x3⎦⎥⎤=⎣⎡−t11−t21−t31⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤+⎣⎢⎡−t1k1l11−t2k2l21−t3k3l31−t1k1l12−t2k2l22−t3k3l32−t1k1l13−t2k2l23−t3k3l33⎦⎥⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=⎣⎡−t11−t21−t31⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤+⎣⎢⎡t1k1t2k2t3k3⎦⎥⎤⎣⎡−l11−l21−l31−l12−l22−l32−l13−l23−l33⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=(−T)⋅X+(K)⋅(−L)⋅X=(−T−KL)⋅X
F=−[1t11t21t3]−[k1t1k2t2k3t3][l11l12l13l21l22l23l31l32l33]=[−1t1−k1t1⋅l11−k1t1⋅l12−k1t1⋅l13−k2t2⋅l21−1t2−k2t2⋅l22−k2t2⋅l23−k3t3⋅l31−k3t3⋅l32−1t3−k3t3⋅l33]\begin{aligned} F &= -\left[\begin{matrix} \frac{1}{t_1} & & \\ & \frac{1}{t_2} & \\ & & \frac{1}{t_3} \\ \end{matrix}\right] -\left[\begin{matrix} \frac{k_1}{t_1} & & \\ & \frac{k_2}{t_2} & \\ & & \frac{k_3}{t_3} \\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} l_{11} & l_{12} & l_{13} \\ l_{21} & l_{22} & l_{23} \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \\ \end{matrix}\right] \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{1}{t_1} - \frac{k_1}{t1} \cdot l_{11} & -\frac{k1}{t1}\cdot l_{12} & -\frac{k_1}{t_1} \cdot l_{13} \\ -\frac{k_2}{t2} \cdot l_{21} & -\frac{1}{t_2} -\frac{k_2}{t_2}\cdot l_{22} & -\frac{k_2}{t_2} \cdot l_{23} \\ -\frac{k_3}{t3} \cdot l_{31} & -\frac{k_3}{t_3}\cdot l_{32} & -\frac{1}{t_3} -\frac{k_3}{t_3} \cdot l_{33} \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}F=−⎣⎡t11t21t31⎦⎤−⎣⎢⎡t1k1t2k2t3k3⎦⎥⎤⎣⎡l11l21l31l12l22l32l13l23l33⎦⎤=⎣⎢⎡−t11−t1k1⋅l11−t2k2⋅l21−t3k3⋅l31−t1k1⋅l12−t21−t2k2⋅l22−t3k3⋅l32−t1k1⋅l13−t2k2⋅l23−t31−t3k3⋅l33⎦⎥⎤
Lemma Recall that a system x˙=Fx\dot{x}=Fxx˙=Fx is marginally stable if there exist symmetric matrices P>0,Q≥0P>0, Q\ge0P>0,Q≥0 such that
FTP+PF=−QF^T P + PF = -QFTP+PF=−Q
This equation is called Lyapunov equation for system x˙=Fx\dot{x}=Fxx˙=Fx. Moreover, if this equation holds with Q>0Q>0Q>0， then the system is AS.
Let
P=[p11p12p13p21p22p23p31p32p33]P = \left[\begin{matrix} p_{11} & p_{12} & p_{13} \\ p_{21} & p_{22} & p_{23} \\ p_{31} & p_{32} & p_{33} \\ \end{matrix}\right]P=⎣⎡p11p21p31p12p22p32p13p23p33⎦⎤
Then
FTP+PF=−Q=[−2⋅p11⋅(1t1+k1t1⋅l11)−k2t2⋅l21⋅p12−]\begin{aligned} F^T P + PF &= -Q \\ &= \left[\begin{matrix} -2 \cdot p_{11} \cdot (\frac{1}{t_1} +\frac{k_1}{t_1} \cdot l_{11}) - \frac{k_2}{t_2}\cdot l_{21} \cdot p_{12} - & & \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}FTP+PF=−Q=[−2⋅p11⋅(t11+t1k1⋅l11)−t2k2⋅l21⋅p12−]
Suppose P=IP=IP=I,
Then
FTP+PF=−Q=[−2t1−2k1t1l11−k1t1l12−k2t2l21−k1t1l13−k3t3l31−k1t1l12−k2t2l21−2t2−2k2t2l22−k2t2l23−k3t3l32−k1t1l13−k3t3l31−k2t2l23−k3t3l32−2t3−2k3t3l33]\begin{aligned} F^T P + PF &= -Q \\ &= \left[\begin{matrix} -\frac{2}{t_1} - 2\frac{k_1}{t_1} l_{11}& -\frac{k_1}{t_1} l_{12} - \frac{k_2}{t_2} l_{21}& -\frac{k_1}{t_1} l_{13} - \frac{k_3}{t_3} l_{31} \\ -\frac{k_1}{t_1} l_{12} -\frac{k_2}{t_2} l_{21}& -\frac{2}{t_2} - 2\frac{k_2}{t_2} l_{22}& -\frac{k_2}{t_2} l_{23} - \frac{k_3}{t_3} l_{32} \\ -\frac{k_1}{t_1} l_{13} -\frac{k_3}{t_3} l_{31}& -\frac{k_2}{t_2} l_{23} - \frac{k_3}{t_3} l_{32}& -\frac{2}{t_3} - 2\frac{k_3}{t_3} l_{33} \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}FTP+PF=−Q=⎣⎢⎡−t12−2t1k1l11−t1k1l12−t2k2l21−t1k1l13−t3k3l31−t1k1l12−t2k2l21−t22−2t2k2l22−t2k2l23−t3k3l32−t1k1l13−t3k3l31−t2k2l23−t3k3l32−t32−2t3k3l33⎦⎥⎤
Q=[2t1+2k1t1l11k1t1l12+k2t2l21k1t1l13+k3t3l31k1t1l12+k2t2l212t2+2k2t2l22k2t2l23+k3t3l32k1t1l13+k3t3l31k2t2l23+k3t3l322t3+2k3t3l33]\begin{aligned} Q= \left[\begin{matrix} \frac{2}{t_1} + 2\frac{k_1}{t_1} l_{11}& \frac{k_1}{t_1} l_{12} + \frac{k_2}{t_2} l_{21}& \frac{k_1}{t_1} l_{13} + \frac{k_3}{t_3} l_{31} \\ \frac{k_1}{t_1} l_{12} + \frac{k_2}{t_2} l_{21}& \frac{2}{t_2} + 2\frac{k_2}{t_2} l_{22}& \frac{k_2}{t_2} l_{23} + \frac{k_3}{t_3} l_{32} \\ \frac{k_1}{t_1} l_{13} + \frac{k_3}{t_3} l_{31}& \frac{k_2}{t_2} l_{23} + \frac{k_3}{t_3} l_{32}& \frac{2}{t_3} + 2\frac{k_3}{t_3} l_{33} \\ \end{matrix}\right] \end{aligned}Q=⎣⎢⎡t12+2t1k1l11t1k1l12+t2k2l21t1k1l13+t3k3l31t1k1l12+t2k2l21t22+2t2k2l22t2k2l23+t3k3l32t1k1l13+t3k3l31t2k2l23+t3k3l32t32+2t3k3l33⎦⎥⎤
Obviously, QQQ is symmetric. Suppose X=[x1,x2,x3]TX=[x_1, x_2, x_3]^TX=[x1,x2,x3]T.
XTQX=x1⋅(x2(k1t1l12+k2t2l21)+x3)X^TQX = x_1\cdot(x_2 (\frac{k_1}{t_1} l_{12}+\frac{k_2}{t_2}l_{21})+x_3)XTQX=x1⋅(x2(t1k1l12+t2k2l21)+x3)
x1*(x2*((k1l12)/t1 + (k2l21)/t2) + x3*((k1l13)/t1 + (k3l31)/t3) + x1*(2/t1 + (2k1l11)/t1)) + x2*(x1*((k1l12)/t1 + (k2l21)/t2) + x3*((k2l23)/t2 + (k3l32)/t3) + x2*(2/t2 + (2k2l22)/t2)) + x3*(x1*((k1l13)/t1 + (k3l31)/t3) + x2*((k2l23)/t2 + (k3l32)/t3) + x3*(2/t3 + (2k3l33)/t3))
Lyapunov function:
V=∑i=1Nxi2=x12+x22+⋯+xN2=V1+V2+⋯+VN\begin{aligned} V &= \sum_{i=1}^N x_i^2 \\ &= x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2 \\ &= V_1 + V_2 + \cdots + V_N \end{aligned}V=i=1∑Nxi2=x12+x22+⋯+xN2=V1+V2+⋯+VN
The time derivative of Lyapunov function is
V˙=∑i=1N2⋅xi⋅x˙i=2x1x˙1+2x2x˙2+⋯+2xNx˙N=V˙1+V˙2+⋯+V˙N\begin{aligned} \dot{V} &= \sum_{i=1}^N 2 \cdot x_i \cdot \dot{x}_i \\ &= 2x_1\dot{x}_1 + 2x_2\dot{x}_2 + \cdots + 2x_N\dot{x}_N \\ &= \dot{V}_1 + \dot{V}_2 + \cdots + \dot{V}_N \end{aligned}V˙=i=1∑N2⋅xi⋅x˙i=2x1x˙1+2x2x˙2+⋯+2xNx˙N=V˙1+V˙2+⋯+V˙N
V˙1=2x1(1t1x1+k1t1u1)=2x1(1t1x1+k1t1(a12(x2−x1)+a13(x3−x1)+⋯+a1N(xN−x1)))=2x1k1t1(1k1x1+(a12(x2−x1)+a13(x3−x1)+⋯+a1N(xN−x1)))\begin{aligned} \dot{V}_1 &= 2x_1(\frac{1}{t_1}x_1+\frac{k_1}{t_1}u_1) \\ &= 2x_1(\frac{1}{t_1}x_1+\frac{k_1}{t_1}(a_{12}(x_2-x_1)+a_{13}(x_3-x_1)+\cdots+a_{1N}(x_N-x_1))) \\ &= 2x_1\frac{k_1}{t_1}(\frac{1}{k_1}x_1+(a_{12}(x_2-x_1)+a_{13}(x_3-x_1)+\cdots+a_{1N}(x_N-x_1))) \\ \end{aligned}V˙1=2x1(t11x1+t1k1u1)=2x1(t11x1+t1k1(a12(x2−x1)+a13(x3−x1)+⋯+a1N(xN−x1)))=2x1t1k1(k11x1+(a12(x2−x1)+a13(x3−x1)+⋯+a1N(xN−x1)))
Lyapunov function:
V=∑i=1,j=1,i≠jN(xi−xj)2=(x1−x1)2+(x1−x2)2+⋯+(x1−xN)2+(x2−x1)2+(x2−x2)2+⋯+(x2−xN)2+⋯+(xN−x1)2+(xN−x2)2+⋯+(xN−xN)2\begin{aligned} V &= \sum_{i=1,j=1,i\ne j}^N (x_i-x_j)^2 \\ &= (x_1-x_1)^2+(x_1-x_2)^2+\cdots+(x_1-x_N)^2 \\ &+ (x_2-x_1)^2+(x_2-x_2)^2+\cdots+(x_2-x_N)^2 \\ &+ \cdots \\ &+ (x_N-x_1)^2+(x_N-x_2)^2+\cdots+(x_N-x_N)^2 \\ \end{aligned}V=i=1,j=1,i=j∑N(xi−xj)2=(x1−x1)2+(x1−x2)2+⋯+(x1−xN)2+(x2−x1)2+(x2−x2)2+⋯+(x2−xN)2+⋯+(xN−x1)2+(xN−x2)2+⋯+(xN−xN)2
The time derivative of Lyapunov function is
V˙=2(x1−x2)(x˙1−x˙2)+⋯+2(x1−xN)(x˙1−x˙N)+2(x2−x1)(x˙2−x˙1)+⋯+2(x2−xN)(x˙2−x˙N)+⋯+2(xN−x1)(x˙N−x˙1)+2(xN−x2)(x˙N−x˙2)+⋯=4(x1−x2)(x˙1−x˙2)+⋯+4(x1−xN)(x˙1−x˙N)+4(x2−x3)(x˙2−x˙3)+⋯+4(x2−xN)(x˙2−x˙N)+⋯+4(xN−1−xN)(x˙N−1−x˙N)\begin{aligned} \dot{V} &= 2(x_1-x_2)(\dot{x}_1-\dot{x}_2)+\cdots+2(x_1-x_N)(\dot{x}_1-\dot{x}_N) \\ &+ 2(x_2-x_1)(\dot{x}_2-\dot{x}_1)+\cdots+2(x_2-x_N)(\dot{x}_2-\dot{x}_N) \\ &+ \cdots \\ &+ 2(x_N-x_1)(\dot{x}_N-\dot{x}_1)+2(x_N-x_2)(\dot{x}_N-\dot{x}_2)+\cdots \\ &= 4(x_1-x_2)(\dot{x}_1-\dot{x}_2)+\cdots+4(x_1-x_N)(\dot{x}_1-\dot{x}_N) \\ &+ 4(x_2-x_3)(\dot{x}_2-\dot{x}_3)+\cdots+4(x_2-x_N)(\dot{x}_2-\dot{x}_N) \\ &+ \cdots \\ &+ 4(x_{N-1}-x_N)(\dot{x}_{N-1}-\dot{x}_N) \\ \end{aligned}V˙=2(x1−x2)(x˙1−x˙2)+⋯+2(x1−xN)(x˙1−x˙N)+2(x2−x1)(x˙2−x˙1)+⋯+2(x2−xN)(x˙2−x˙N)+⋯+2(xN−x1)(x˙N−x˙1)+2(xN−x2)(x˙N−x˙2)+⋯=4(x1−x2)(x˙1−x˙2)+⋯+4(x1−xN)(x˙1−x˙N)+4(x2−x3)(x˙2−x˙3)+⋯+4(x2−xN)(x˙2−x˙N)+⋯+4(xN−1−xN)(x˙N−1−x˙N)
总结
以上是生活随笔为你收集整理的【Paper】2021_Analysis of the Consensus Protocol of Heterogeneous Agents with Time-Delays的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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