UA SIE545 优化理论基础0 优化建模6 罐头的尺寸设计

UA SIE545 优化理论基础0 优化建模6 罐头的尺寸设计

我们的目标是设计一种罐头，这种罐头产品按件出售，一件12个罐头，按3行一行四个的形式排列，同时有以下信息：

$V_0$：罐头的最小容积（忽略厚度）；

$D_0$：一件罐头的最大边长；

$c_1,c_2$: 罐头材料与一件罐头的包装材料的单位价格

考虑圆柱体罐头，假设底面半径为$r$，高为$h$；一件罐头用一个长方体盒子包装，长方体的长为$8r$、宽为$6r$、高为$h$。用$S_1$表示罐头表面积，则
$$S_1=12(2\pi r^2+2\pi rh)$$

用$S_2$表示包装的表面积，则
$$S_2=96r^2+28rh$$

因此总成本为
$$C(r,h)=c_1{S}_1+c_2{S}_2=24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h)$$

这就是我们的目标函数，我们想要最小化材料总成本。另外，对于尺寸参数还有下面的约束：
$$\begin{gathered} \pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ 6r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

由此我们可以写出罐头尺寸设计的优化模型：
$$\begin{gathered} \underset{r,h}{\min }24\pi r{c}_1(r+h)+2r{c}_2(48r+14h) \\ s.t.\pi r^{2}h\ge V_0 \\ 8r\le D_0 \\ h\le D_0 \\ r,h\ge 0 \end{gathered}$$

其中$C(r,h)$是目标函数，$r,h$是决策变量，$\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0$是不等式约束，记$F$表示可行域（feasible region），这个问题的可行域为
$$F=\{(r,h):\pi r^{2}h\ge V_0,8r\le D_0,h\le D_0,r,h\ge 0\}$$

这个可行域是凸集，因此这个是一个凸优化。只有两个决策变量时可以用图解法、也可以用Kuhn-Tucker定理求解。

总结

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