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UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习

发布时间：2025/4/14 编程问答 45 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习

先复习几个概念：

  • ϕ\phiϕ（空集）、N\mathbb{N}N（自然数集，不含0）、Z\mathbb{Z}Z（整数集）、Q\mathbb{Q}Q（有理数集）、R\mathbb{R}R（实数集）、C\mathbb{C}C（复数集）
  • 集合的关系：A⊂BA \subset BA⊂B（subset of）、A=BA=BA=B（A⊂BA \subset BA⊂B and B⊂AB \subset AB⊂A）
  • P(A)\mathcal{P}(A)P(A)是AAA的幂集（power set），是AAA的所有子集的集合
  • F\mathcal{F}F表示元素为集合的集合，也就是family of sets or collection of sets（集族）
    ⋃F∈FF={x:x∈F,∃F∈F}⋂F∈FF={x:x∈F,∀F∈F}\bigcup_{F \in \mathcal{F}} F = \{x: x \in F, \exists F \in \mathcal{F}\} \\ \bigcap_{F \in \mathcal{F}} F = \{x: x \in F, \forall F \in \mathcal{F}\}F∈F⋃​F={x:x∈F,∃F∈F}F∈F⋂​F={x:x∈F,∀F∈F}
  • 集族F\mathcal{F}F可以用集合AAA指标化（indexed by A）
    F={Fα}α∈A\mathcal{F} = \{F_{\alpha}\}_{\alpha \in A}F={Fα​}α∈A​
  • Disjoint family：α,β∈A\alpha,\beta \in Aα,β∈A, Fα∩Fβ=ϕF_{\alpha} \cap F_{\beta} = \phiFα​∩Fβ​=ϕ, Fα,Fβ∈FF_{\alpha} , F_{\beta} \in \mathcal{F}Fα​,Fβ​∈F，这时可以用⊔\sqcup⊔表示Fα,FβF_{\alpha} , F_{\beta}Fα​,Fβ​的并
  • 集列的极限（极限结果与index无关，仅与集族有关）：
    lim sup⁡Fn=⋂k=1∞⋃n=k∞Fnlim inf⁡Fn=⋃k=1∞⋂n=k∞Fn\limsup F_n = \bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} F_n \\ \liminf F_n = \bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} F_nlimsupFn​=k=1⋂∞​n=k⋃∞​Fn​liminfFn​=k=1⋃∞​n=k⋂∞​Fn​
  • 差与对称差
    E∖F={x:x∈Eandx∉F}EΔF=(E∖F)⊔(F∖E)E\setminus F = \{x:x\in E\ and\ x \notin F\} \\ E \Delta F = (E\setminus F) \sqcup (F\setminus E)E∖F={x:x∈E and x∈/​F}EΔF=(E∖F)⊔(F∖E)
  • de Morgan’s Law（对任意indexed family都成立）
    (⋃α∈AFα)C=⋂α∈AFαC(⋂α∈AFα)C=⋃α∈AFαC\left( \bigcup_{\alpha \in A} F_{\alpha} \right)^C = \bigcap_{\alpha \in A} F_{\alpha}^C \\ \left( \bigcap_{\alpha \in A} F_{\alpha} \right)^C = \bigcup_{\alpha \in A} F_{\alpha}^C(α∈A⋃​Fα​)C=α∈A⋂​FαC​(α∈A⋂​Fα​)C=α∈A⋃​FαC​
  • Cartesian Product: a set of order pairs
    X×Y={(x,y):x∈X.y∈Y}X \times Y = \{(x,y):x \in X.y \in Y\}X×Y={(x,y):x∈X.y∈Y}
  • If RRR is a relation from XXX to YYY，可以记xRyxRyxRy为(x,y)(x,y)(x,y)；有两种重要的二元关系，equivalence表示XXX to XXX的关系，满足xRxxRxxRx, xRy↔yRxxRy \leftrightarrow yRxxRy↔yRx, xRy,yRz→xRzxRy,yRz \rightarrow xRzxRy,yRz→xRz，基于equivalence可以定义equivalent class，如[x]={y∈X:xRy}[x]=\{y \in X: xRy\}[x]={y∈X:xRy}，需要证明等价类与那个xxx的选择无关（证明是良定义）；另一种重要的relation是mapping，f:X→Yf:X \to Yf:X→Y，表示∀x∈X\forall x\in X∀x∈X, ∃!y∈Y\exists !y \in Y∃!y∈Y，写作f(x)=yf(x)=yf(x)=y or say xRyxRyxRy
  • 像与原像（preimage）
    f(D)={f(x):x∈D}f−1(E)={x:f(x)∈E}f(D) = \{f(x):x \in D\} \\ f^{-1}(E) = \{x:f(x) \in E\}f(D)={f(x):x∈D}f−1(E)={x:f(x)∈E}
  • preimage的性质（拉回的性质）
    f−1(⋃α∈AEα)=⋃α∈Af−1(Eα)f−1(⋂α∈AEα)=⋂α∈Af−1(Eα)f−1(EαC)=(f−1(Eα))Cf^{-1}\left(\bigcup_{\alpha \in A} E_{\alpha}\right) = \bigcup_{\alpha \in A}f^{-1}(E_{\alpha}) \\ f^{-1}\left(\bigcap_{\alpha \in A} E_{\alpha}\right) = \bigcap_{\alpha \in A}f^{-1}(E_{\alpha}) \\ f^{-1}(E_{\alpha}^C) = (f^{-1}(E_{\alpha}))^Cf−1(α∈A⋃​Eα​)=α∈A⋃​f−1(Eα​)f−1(α∈A⋂​Eα​)=α∈A⋂​f−1(Eα​)f−1(EαC​)=(f−1(Eα​))C
  • 单射、满射、双射
    单射（injection, 1-1）：∃x1,x2∈X,f(x1)=f(x2)\exists x_1,x_2 \in X,f(x_1)=f(x_2)∃x1​,x2​∈X,f(x1​)=f(x2​) only when x1=x2x_1=x_2x1​=x2​
    满射（surjection, onto）: f(X)=Yf(X)=Yf(X)=Y
    双射（bijection）：∀y∈Y,∃!x∈X,f(x)=y\forall y \in Y,\exists !x \in X, f(x)=y∀y∈Y,∃!x∈X,f(x)=y或者既是单射也是满射

    • 总结

    以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH523A 实分析1 集合论基础1 基本概念复习的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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