UA MATH523A 实分析2 测度论定理证明技巧总结
UA MATH523A 实分析2 测度论定理证明思路总结
- σ\sigmaσ-代数
- 测度
- 外测度
- Borel测度
上一篇总结了测度论部分的概念与定理，这一篇总结一下那22个定理的推导脉络与证明思路。
σ\sigmaσ-代数
Lemma 1.1阐述了集族与集族生成的σ\sigmaσ-代数的关系，更大的集族生成的σ\sigmaσ-代数一定是更大的。基于Lemma 1.1可以导出Proposition 1.3、Proposition 1.4，这两个推论研究乘积空间上的sigma代数的结构，在不同的条件下，乘积空间上的sigma代数可以由几种不同的集族生成。以Lemma 1.1为基础证明两个集族生成的sigma代数相同的思路是证明第一个集族属于第二个集族，然后证明第二个集族属于第一个集族即可。
Proposition 1.2阐述直线上的Borel代数的构造（直线各种区间都是Borel集合），Corollary 1.6阐述欧式空间上的Borel代数的构造（欧式空间上的Borel代数就是直线上的Borel代数的乘积），系1.6这个结论依托于Proposition 1.5，对于度量空间，一系列度量空间的Borel代数的乘积被包含于它们的乘积度量空间的Borel代数，当且仅当这一系列度量空间可分时，这两个Borel代数相等。
推论1.5也是证明两个集族生成的sigma代数的关系，但是多了一个度量空间的条件。推论1.5前半段可以用推论1.4结合引理1.1证明，不需要度量空间的条件。推论1.5的后半段需要证明⊗j=1nBXj⊇BX\otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j} \supseteq \mathcal{B}_X⊗j=1nBXj⊇BX，推论1.4后半段说明If AAA is countable and Xα∈EαX_{\alpha} \in \mathcal{E}_{\alpha}Xα∈Eα, ⊗α∈AM(Eα)=M(F^2),F^2={∏α∈AEα:Eα∈Eα}\otimes_{\alpha \in A}\mathcal{M}(\mathcal{E}_{\alpha}) = \mathcal{M}(\hat \mathcal{F}_2),\hat \mathcal{F}_2 = \{\prod_{\alpha \in A}E_{\alpha}:E_{\alpha} \in\mathcal{E}_{\alpha}\}⊗α∈AM(Eα)=M(F^2),F^2={∏α∈AEα:Eα∈Eα}，根据引理1.1，我们需要在每个XjX_{j}Xj上构造一个集族Ej\mathcal{E}_jEj使得BX\mathcal{B}_XBX可以由F^2\hat \mathcal{F}_2F^2型的集族生成。这个构造需要利用可分的性质，XjX_jXj存在可列稠密子集，记Ej\mathcal{E}_jEj是以可列稠密子集中的元素为中心，有理数为直径的开球的集族，则XjX_jXj中的开集是Ej\mathcal{E}_jEj中元素的可列并（根据可分度量空间的性质构造可以生成Borel代数的集列的技术），这个Ej\mathcal{E}_jEj就是我们需要的。
Proposition 1.7阐述了基于elementary family构造代数的思路。sigma代数的条件是比较苛刻的，elementary family的限制条件比较小，因此构造elementary family相对容易，于是一种构造sigma代数的思路是先构造一个elementary family，从elementary family导出代数，然后加上一些限制得到sigma代数，测度的完备与扩张就可以用elementary family导出sigma代数的思路。推论1.7的证明非常简单，验证写出elementary family中元素的并的集族，验证它是一个代数即可。
测度
Theorem 1.8介绍了测度的四个重要性质，Monotonicity、Sub-additivity、Continuity from below、Continuity from above，这四个性质的证明非常经典，都是以集合运算为基础的测度运算，因为按测度的定义，我们只能用它计算无交并，所以证明测度的等式和性质主要要做的就是将各种集合及其运算改写成能用无交并表示的形式。Monotonicity考虑E⊂FE \subset FE⊂F的情况，可以将FFF分解为
F=E⊔(F∖E)F = E \sqcup (F \setminus E)F=E⊔(F∖E)
Sub-additivity考虑一列任意集合{Fn}\{F_n\}{Fn}的交，将其改写为无交并，
∪n=1∞Fn=⊔n=1∞En,E1=F1,En=F1∖∪i=1n−1Fi,En⊂Fn\cup_{n=1}^{\infty}F_n = \sqcup_{n=1}^{\infty}E_n,E_1 = F_1,E_n = F_1\setminus \cup_{i=1}^{n-1}F_i, E_n \subset F_n∪n=1∞Fn=⊔n=1∞En,E1=F1,En=F1∖∪i=1n−1Fi,En⊂Fn
Continuity from below考虑递增集列的并，Fn↑F_n\uparrowFn↑, 将其改写为无交并
∪n=1∞Fn=⊔n=1∞En,E1=F1,En=Fn∖Fn−1,n≥2\cup_{n=1}^{\infty}F_n = \sqcup_{n=1}^{\infty}E_n,E_1 = F_1,E_n = F_{n} \setminus F_{n-1}, n\ge 2∪n=1∞Fn=⊔n=1∞En,E1=F1,En=Fn∖Fn−1,n≥2
Continuity from above考虑递减集列的并，Fn↓F_n\downarrowFn↓, 记En=F1∖FnE_n=F_1 \setminus F_nEn=F1∖Fn，则可以直接用Continuity from below的结论。
Theorem 1.9讨论了测度完备化的一种可行的操作，完备化其实就是让测度的定义域更完备更合理，比如X={a,b,c}X=\{a,b,c\}X={a,b,c}, P(X)={ϕ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}\mathcal{P}(X)=\{\phi,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}P(X)={ϕ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}, M={ϕ,{a},{b,c},{a,b,c}}\mathcal{M}=\{\phi,\{a\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}M={ϕ,{a},{b,c},{a,b,c}}，显然M⊂P(X)\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(X)M⊂P(X)是一个sigma代数，我们可以在M\mathcal{M}M上定义测度：μ({a})=1,μ({b,c})=0\mu(\{a\})=1,\mu(\{b,c\})=0μ({a})=1,μ({b,c})=0。对于这个测度而言，{b},{c}\{b\},\{c\}{b},{c}是不可测的，但它们是零测集{b,c}\{b,c\}{b,c}的子集，所以这个测度事实上是不完备的，我们希望零测集的子集也没有测度，定理1.9提供的就是延拓M\mathcal{M}M的一种操作，定理1.9的证明用了论述完备化以及延拓的唯一性的技术：
需要注意的是不一定完备化的延拓都具有唯一性，但这五步是非常标准的证明完备化与延拓的操作。
外测度
Proposition 1.10提供了从一般的集函数导出外测度的方法。因为测度的条件也是非常严苛的，外测度这一节的整体思路就是在论述外测度下可测的集合构成一个sigma代数，外测度限制到这个sigma代数上就成为了测度，然后我们可以对这个测度进行扩张，扩张到这个sigma代数生成的sigma代数上，这样就得到了一个比较大的定义了测度的可测空间。推论1.10是第一步，提供了从定义在幂集上的更一般的集函数导出外测度的方法。推论1.10的证明就是在验证下面这个定义满足外测度的条件：
μ∗(A)=inf{∑j=1∞ρ(Ej):Ej∈E,A⊂∪j=1∞Ej}\mu^*(A)=\inf\{\sum_{j=1}^{\infty}\rho(E_j):E_j \in \mathcal{E},A \subset \cup_{j=1}^{\infty}E_j\}μ∗(A)=inf{j=1∑∞ρ(Ej):Ej∈E,A⊂∪j=1∞Ej}
稍微复杂点的是验证次可加性，这种定义(covering的集函数的inf)的用法是
∑j=1∞ρ(Ejk)≤μ∗(Aj)+ϵ2−j\sum_{j=1}^{\infty}\rho(E_j^k) \le \mu^*(A_j)+\epsilon 2^{-j}j=1∑∞ρ(Ejk)≤μ∗(Aj)+ϵ2−j
也就是存在一个集列，它的集函数的值非常接近下确界，如果下确界大任意一个正数，它的集函数就更小了，这种结构在外测度以及外测度导出的测度中都非常有用。
Theorem 1.11 Caratheodory’s Theorem提供了基于外测度导出测度的技术。Caratheodory定理的证明非常标准化，与定理1.9的证明需要的技术类似，Caratheodory定理涉及的集族有一个结构A⊂XA \subset XA⊂X μ∗\mu^*μ∗-measurable, μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∖A)\mu^*(E)=\mu^*(E \cap A)+\mu^*(E \setminus A)μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∖A)，证明外测度在μ∗\mu^*μ∗-可测集上的限制是测度需要反复用到这个结构。
Equation 1.12提供了一种特殊情况，如果Proposition 1.10中的集函数用Premeasure，也就是具有测度的公理化性质，但定义域是任意集族的集函数，用Premeasure导出的外测度具有两条有趣的性质，也就是Proposition 1.13和Proposition 1.14，Proposition 1.13指出Premeasure导出的外测度限制在Premeasure的定义域上等于Premeasure，并且Premeasure的定义域定义域中的集合在外测度下都是可测的。Proposition 1.14指出Premeasure导出的外测度限制在Premeasure的定义域生成的sigma代数上就成为了测度。推论1.13的证明后半段主要就是在用推论1.10中结构验证μ∗\mu^*μ∗-可测的结构，前半段是验证外测度的限制等于premeasure，证明方法就是分别说明大于等于和小于等于即可。推论1.14前半部分是Caratheodory定理的应用，后半段依然是熟悉的完备化的唯一性。
Borel测度
这一节讨论的是直线上的测度，称之为Borel测度，这是应用最为广泛的一种测度，也是后续建立积分理论所主要依赖的测度之一。Proposition 1.15给出了分布函数导出premeasure的方法，再根据Equation 1.12、Proposition 1.13、Proposition 1.14就可以得到一个测度；Theorem 1.16介绍了Borel测度与分布函数的一一对应关系。定理1.16就是验证定义，但推论1.15的证明比较复杂：
复杂在第二步，就是分别论述大于等于和小于等于即可，考虑到分布函数的性质，需要h-interval对集合进行逼近。
完备的Borel测度被称为L-S测度，L-S测度拥有非常良好的性质。尽管我们前两节讨论了构造sigma代数与测度的一般性方法，但并不是随随便便构造一个测度就会有非常良好的便于应用的性质的。Lemma 1.17与Theorem 1.18研究了L-S测度大的构造，这两个结果为L-S可测集的逼近方法提供了基础。引理1.17提供了开区间逼近L-S可测集的技术，定理1.18提供了开集、紧集逼近L-S可测集的技术，二者的证明有一些类似之处，都是分别证明大于等于和小于等于，尽管分别是用开区间、开集、紧集做逼近，但为了用Borel测度的结构，我们就再用h-interval分别逼近开区间、开集、紧集即可（小于等于）；证明大于等于需要推论1.10的结构。
Theorem 1.19与Proposition 1.20研究了L-S可测集的性质，定理1.19给出了用GδG_{\delta}Gδ或者FσF_{\sigma}Fσ集合构造L-S可测集的技术，推论1.20说明了用开区间逼近L-S可测集的可能性。
分布函数F(x)=xF(x)=xF(x)=x导出的完备Borel测度是Lebesgue测度，它是对欧式几何一些度量概念的抽象化，具有继承于欧式几何的、与我们在UA MATH523A 实分析2 测度论1 Banach-Tarski：为什么需要sigma代数中所讨论的一致的不变性，Theorem 1.21阐述了这种不变性。
总结
以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH523A 实分析2 测度论定理证明技巧总结的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。
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