精算模型1 一元生存分析2 参数生存模型

精算模型1 一元生存分析2 参数生存模型

• • 均匀分布 (de Moivre 1724)
  • 指数分布
  • Gompertz分布 (1825)
  • Makeham分布 (1860)
  • Weibull分布 (Frechet,1927; Weibull 1951)
  • • Gamma函数
    • Weibull分布的基本生存函数

这一讲介绍几个常用的剩余寿命$T$的分布。

均匀分布 (de Moivre 1724)

假设$w$表示极限年龄，则$T\sim U(0,w)$,
$$f_T(t)=\frac{1}{w}{I}_{0\le t\le w}$$

特点：第一个寿命的连续概率模型；剩余寿命均匀分布，随着年龄增长危险率上升，达到极限年龄时必死无疑；
适用性：长时间区间不适用。

性质：

生存函数
$$S(t)=\frac{w-t}{w}$$

危险率函数$$h(t)=\frac{1}{w-t}$$

平均剩余寿命（期望）$$E[T]=\frac{w}{2}$$

方差 $$Var[T]=\frac{w^2}{12}$$

指数分布

假设$T\sim f(t)$,
$$f_T(t)=\frac{1}{\theta }{e}^{-\frac{1}{\theta }t},t>0$$

特点：常值死亡力（危险率函数为常数）；一段时间内的死亡概率与当前年龄无关；是Gamma分布与Weibull分布的特例；
适用性：一般用在一年、一年以内的年龄区间。

性质

生存函数
$$S(t)=e^{-\frac{1}{\theta }t}$$

危险率函数$$h(t)=\frac{1}{\theta }$$

期望 $$E[T]=\theta$$

方差 $$Var[T]={\theta }^2$$

无记忆性 $$P(T\ge y+t|T\ge y)=P(T\ge t)$$

Gompertz分布 (1825)

Gompertz分布通过直接定义危险率函数得到：
$$h(t)=B{c}^t,t\ge 0,c>1,B>0$$

它的适用性不强，因为相关的生存分析基本函数的形式非常复杂，生存函数稍微简单一点
$$S(t)=\exp \left(\frac{B}{\ln c}(1-c^t)\right)$$

Makeham分布 (1860)

Makeham分布是对Gompertz分布的修正，Gompertz分布用幂函数对与年龄相关的危险率进行建模，但没有考虑到所有年龄段共有的一些死亡风险，于是Makeham分布的危险率函数修正为
$$h(t)=A+B{c}^t,t\ge 0,c>1,B>0,A>-B$$

这个形式比Gompertz分布的形式还要复杂一点，因此相关的生存分析基本函数的形式也非常复杂，生存函数为
$$S(t)=\exp \left(\frac{B}{\ln c}(1-c^t)-At\right)$$

Weibull分布 (Frechet,1927; Weibull 1951)

Weibull分布参数为$\theta ,\gamma$，概率密度函数为
$$f(x)=\frac{\gamma }{\theta }{x}^{\gamma -1}{e}^{-\frac{1}{\theta }{x}^{\gamma }},x>0,\gamma ,\theta >0$$

Gamma函数

Gamma函数是阶乘在实数域的延拓，它由如下的积分形式定义：
$$\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}dt,x>0$$

Gamma函数及其相关计算技巧在概率统计中非常重要，

性质

$\Gamma (x)=x\Gamma (x-1)$

$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$

$\Gamma (x)\sim \sqrt{2\pi }{e}^{-x}{x}^{x-\frac{1}{2}}$ (Stirling’s Formula)

证明
这里用概率论的思路给出性质3的简单证明，也可以查阅任何一本数学分析的教材，学习用分析的思路证明性质3的方法。

We try to proof it using probability theory. Suppose $X_1$, $X_2$, … , $X_n$ independently follow Poisson distribution with mean of each is 1. Define $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$, then $E(S_n)=Var(S_n)=n$. So
$$P(S_n=n)=\frac{e^{-n}{n}^n}{n!}$$
According CLT,
$$\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}{\to }_{d}N(0,1)$$
which means $\forall n\in \mathbb{N}$, $\forall ϵ>0$, $\exists \delta >0$ such that $\forall x\in B(n,\delta )$,
$$|P(S_n=n)-[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{x}})]|<\frac{ϵ}{2}$$
Here $F(x)$ is the CDF of standard normal distribution.Since $P(S_n=n)=P(n-1<S_n\le n)=P(-1/\sqrt{n}<S_n\le 0)$, this is approximately $F(0)-F(-1/\sqrt{n})$ according to convergence in distribution. Notice $F(x)$ is continuous, so $\forall x\in B(n,\delta )$,
$$|[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{x}})]-[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{n}})]|<\frac{ϵ}{2}$$
So
$$\begin{gathered} |P(S_n=n)-[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{n}})]| \\ \le |P(S_n=n)-[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{x}})]|-|F(x)-[F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{n}})]|<ϵ \end{gathered}$$
Notice $F(x)$ is also bounded, so $\exists M>0$ such that $\forall x,F(x)\le M$
$$|\frac{P(S_n=n)}{F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{n}})}-1|<\frac{ϵ}{M}$$
$$\begin{gathered} F(0)-F(-\frac{1}{\sqrt{n}})={\int }_{-\frac{1}{\sqrt{n}}}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx \\ ={\int }_{-\frac{1}{\sqrt{n}}}^0\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(1-\frac{x^2}{2}+o(x^3))dx \\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}-\frac{1}{\sqrt{12\pi n^3}}+o(\frac{1}{n^2}) \end{gathered}$$
According to the two equations and inequality, when n is large enough, we can ignore $-\frac{1}{\sqrt{12\pi n^3}}+o(\frac{1}{n^2})$, so
$$\frac{e^{-n}{n}^n}{n!}\to \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$$

证毕

Weibull分布的基本生存函数

性质

生存函数
$$S(x)=e^{-\frac{1}{\theta }{x}^{\gamma }},x\ge 0$$

危险率函数$$h(x)=\frac{\gamma }{\theta }{x}^{\gamma -1},x\ge 0$$显然$\gamma$控制$h$的单调性

期望$$EX={\theta }^{1/\gamma }\Gamma (1+1/\gamma )$$

$r$阶矩$$E{X}^r={\theta }^{r/\gamma }\Gamma (1+r/\gamma )$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的精算模型1 一元生存分析2 参数生存模型的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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