UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理证明积分不等式

UA MATH523A 实分析3 积分理论例题 Fubini定理证明积分不等式

例 假设$f(x),x\in [0,1]$绝对连续，$f(0)=0$，证明
$${\int }_0^1\frac{|f(x){|}^3}{x^3}dx\le {\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^3|\ln x|dx$$

证 $f(x),x\in [0,1]$绝对连续，$f(0)=0$说明
$$f(x)={\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt$$

把这个式子代入左式就可以构造出一个重积分了。
$${\int }_0^1\frac{|f(x){|}^3}{x^3}dx={\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}\left|{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt\right|\right)}^{3}dx$$

但这还不是一个重积分，因此我们需要再做一些操作，让它变成重积分。首先根据积分的绝对值不等式进行放松，然后做一个简单的换元收了$1/x$，最后对三次函数用Jensen不等式

$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}\left|{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)dt\right|\right)}^{3}dx\le {\int }_0^1{\left(\frac{1}{x}{\int }_0^1\left|f^{\prime }(t)\right|dt\right)}^{3}dx \\ ={\int }_0^1{\left({\int }_0^x\left|f^{\prime }(xt)\right|dt\right)}^{3}dx\le {\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dtdx \end{gathered}$$

现在我们把刚刚那个换元重反过来对$t$做一次，并用几次Fubini-Tonelli定理
$$\begin{gathered} {\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dtdx={\int }_0^1{\int }_0^1{\left|f^{\prime }(xt)\right|}^{3}dxdt \\ ={\int }_0^1\frac{1}{t}{\int }_0^t|f^{\prime }(x){|}^{3}dxdt={\int }_0^1|f^{\prime }(x{)}^3|{\int }_x^1\frac{1}{t}dtdx \\ ={\int }_0^1|f^{\prime }(x){|}^3|\ln x|dx \end{gathered}$$

总结

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