UA MATH563 概率论的数学基础 鞅论初步2 条件期望的应用：推导二元随机变量的条件概率与条件期望

UA MATH563 概率论的数学基础 鞅论初步2 条件期望的应用：推导二元随机变量的相关计算公式

上一讲我们介绍了关于$\sigma$-代数定义的条件期望以及关于随机变量的条件期望，这一讲我们用这些定义推导二元随机变量的条件密度、条件期望等计算公式。

我们先描述一下概率空间，取$\Omega ={\mathbb{R}}^2$，它与$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)$构成可测空间，用$P$表示定义在这个可测空间上的一个概率。$(X,Y)$是定义在这个可测空间上的随机向量，它的概率密度是$f(x,y)$，
$$P((X,Y)\in A)=\int {\chi }_{A}dP={\iint }_{A}f(x,y)dxdy,\forall A\in \mathcal{B}({\mathbb{R}}^2)$$

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我们要回答的第一个问题是$P(Y\in B|X=x)$如何计算。

考虑$\forall x\in \mathbb{R}$
$$\begin{gathered} P(Y\in B|X=x)=\frac{P(Y^{-1}(B)\cap X^{-1}(x))}{P(X^{-1}(x))} \\ =\frac{{\iint }_{\{x\}\times B}f(x,y)dxdy}{{\iint }_{\{x\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dxdy}=\frac{{\int }_{B}f(x,y)dy}{{\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)dy}\triangleq {\int }_{B}f(y|x)dy \end{gathered}$$

其中${\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)dy$是$X$的边缘密度，记为$f_X(x)$，$f(y|x)$是$Y|X=x$的概率密度，称之为$Y$关于$X$的条件密度，
$$f(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

表面上看我们仿佛得到了一个条件密度的公式，根据这个公式可以计算条件概率，但是这个公式还不是很严谨，因为$(X,Y)\in {\mathbb{R}}^2$，$x$的取值有可能使得$f_X(x)=0$，所以接下来我们要处理一下$f_X(x)=0$的情况。计算
$$P(\{x:f_X(x)=0\})={\iint }_{\{x:f_X(x)=0\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dxdy$$

根据Fubini-Tonelli定理，交换积分次序
$$\begin{gathered} P(\{x:f_X(x)=0\})={\iint }_{\{x:f_X(x)=0\}\times \mathbb{R}}f(x,y)dydx \\ ={\int }_{\{x:f_X(x)=0\}}{f}_X(x)dx=0 \end{gathered}$$

这说明$\{x:f_X(x)=0\}$是一个零测集，因此支撑集$supp{f}_X(x)=\{x:f_X(x)>0\}$几乎必然等于$\mathbb{R}$，在分析时我们总是可以用支撑集代替全集进行计算。

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接下来我们讨论第二个问题，$E[g(Y)|X]$如何计算，其中$g$是Borel可测函数。

我们可以基于上面定义的条件密度计算
$$E[g(Y)|X]={\int }_{\mathbb{R}}g(y)f(y|X)dy$$

这里就涉及$f(y|X)$这个我们没定义过的东西了，所以接下来我们定义一下它。
$$\begin{gathered} f(y|X)=P(Y^{-1}(y)|X)=P(Y^{-1}(y)|\sigma (X)) \\ =\frac{P(Y^{-1}(y)\cap \sigma (X))}{P(\sigma (X))}=\frac{f(X,y)}{{\int }_{y}f(X,y)dy} \end{gathered}$$

这个推导中需要注意的是关于$X$的条件概率就是关于$\sigma (X)$的条件概率，这种条件概率依然是随机变量，因此$f(y|X)$也是随机变量。

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总结

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