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UA OPTI570 量子力学25 2-level System

发布时间：2025/4/14 编程问答 53 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 UA OPTI570 量子力学25 2-level System 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA OPTI570 量子力学25 2-level System

    • 2-level System与Rabi oscillation

2-level System与Rabi oscillation

Spin-1/2的方法可以用于任意二维态空间（称之为2-level system），考虑E2\mathcal{E}_{2}E2​，假设它的基为{∣u1⟩,∣u2⟩}\{|u_1 \rangle,|u_2 \rangle\}{∣u1​⟩,∣u2​⟩}，在这组基下，任意量子态可以表示为一个有两个元素的列向量，任意算符可以表示为2×22 \times 22×2的矩阵，于是在这种与Spin-1/2类似的数学模型下，Spin-1/2的相关结果可以直接移植到2-level system中。

∀∣ψ⟩∈E2\forall |\psi \rangle \in \mathcal{E}_2∀∣ψ⟩∈E2​，∣ψ⟩=a∣u1⟩+b∣u2⟩,∃a,b∈C|\psi \rangle=a|u_1 \rangle+b|u_2 \rangle,\exists a,b \in \mathbb{C}∣ψ⟩=a∣u1​⟩+b∣u2​⟩,∃a,b∈C，并且∃θ,ϕ\exists \theta ,\phi∃θ,ϕ,
a=cos⁡θ2e−iϕ2,b=sin⁡θ2eiϕ2\begin{aligned} a = \cos \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i \phi}{2}},b = \sin \frac{\theta}{2} e^{\frac{i \phi}{2}} \end{aligned}a=cos2θ​e−2iϕ​,b=sin2θ​e2iϕ​​

注意θ,ϕ\theta,\phiθ,ϕ是任意参数坐标，并不一定代表真实物理空间中的角度。Pauli Spin Matrix的期望为
⟨σx⟩=sin⁡θcos⁡ϕ⟨σy⟩=sin⁡θsin⁡ϕ⟨σz⟩=cos⁡θ\langle \sigma_x \rangle = \sin \theta \cos \phi \\ \langle \sigma_y \rangle = \sin \theta \sin \phi \\ \langle \sigma_z \rangle = \cos \theta⟨σx​⟩=sinθcosϕ⟨σy​⟩=sinθsinϕ⟨σz​⟩=cosθ

于是Bloch vector为
⟨σ⟩=[sin⁡θcos⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕcos⁡θ]\langle \sigma \rangle = \left[ \begin{matrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{matrix} \right]⟨σ⟩=⎣⎡​sinθcosϕsinθsinϕcosθ​⎦⎤​

例1 假设H=E1∣u1⟩⟨u1∣+E2∣u2⟩⟨u2∣H=E_1|u_1 \rangle \langle u_1 |+E_2|u_2 \rangle \langle u_2 |H=E1​∣u1​⟩⟨u1​∣+E2​∣u2​⟩⟨u2​∣，它的矩阵表示为diag(E1,E2)diag(E_1,E_2)diag(E1​,E2​)，假设∣ψ(0)⟩=∣u1⟩|\psi(0) \rangle=|u_1 \rangle∣ψ(0)⟩=∣u1​⟩，
∣ψ(t)⟩=e−iHt/ℏ∣ψ(0)⟩=e−iE1t/ℏ∣u1⟩|\psi(t) \rangle = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0) \rangle=e^{-iE_1t/\hbar}|u_1 \rangle∣ψ(t)⟩=e−iHt/ℏ∣ψ(0)⟩=e−iE1​t/ℏ∣u1​⟩

这是一个很有趣的结果，在有像这道题定义的哈密顿量的系统中，如果初始量子态是某个本征态，那么量子态并不会随时间演化到另一个本征态，而是会一直停留在这个本征子空间中，也就是说P(E2)=0P(E_2)=0P(E2​)=0。

例2 假设H=E1∣u1⟩⟨u1∣+E2∣u2⟩⟨u2∣+ϵ1^H=E_1|u_1 \rangle \langle u_1 |+E_2|u_2 \rangle \langle u_2 |+\epsilon \hat 1H=E1​∣u1​⟩⟨u1​∣+E2​∣u2​⟩⟨u2​∣+ϵ1^，则延用例1的设定，
∣ψ(t)⟩=e−i(E1+ϵ)t/ℏ∣u1⟩|\psi(t) \rangle = e^{-i(E_1+\epsilon)t/\hbar}|u_1 \rangle∣ψ(t)⟩=e−i(E1​+ϵ)t/ℏ∣u1​⟩

也就是同时同量改变两个本征态的本征值不会影响例1的结论。

例3 假设H=E1∣u1⟩⟨u1∣+E2∣u2⟩⟨u2∣+WH=E_1|u_1 \rangle \langle u_1 |+E_2|u_2 \rangle \langle u_2 |+WH=E1​∣u1​⟩⟨u1​∣+E2​∣u2​⟩⟨u2​∣+W，其中算符W=W12∣u1⟩⟨u2∣+W21∣u2⟩⟨u1∣W=W_{12}|u_1 \rangle \langle u_2 |+W_{21}|u_2 \rangle \langle u_1 |W=W12​∣u1​⟩⟨u2​∣+W21​∣u2​⟩⟨u1​∣，则哈密顿量的矩阵表示为
[E1W12W21E2]=[E1W21∗W21E2]=[E1+E22+E1−E22W12W21E1+E22−E1−E22]\left[ \begin{matrix} E_1 & W_{12} \\ W_{21} & E_2 \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} E_1 & W_{21}^* \\ W_{21} & E_2 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \frac{E_1+E_2}{2}+\frac{E_1-E_2}{2} & W_{12} \\ W_{21} & \frac{E_1+E_2}{2}-\frac{E_1-E_2}{2}\end{matrix} \right][E1​W21​​W12​E2​​]=[E1​W21​​W21∗​E2​​]=[2E1​+E2​​+2E1​−E2​​W21​​W12​2E1​+E2​​−2E1​−E2​​​]

记Em=E1+E22,δ=E1−E22E_m=\frac{E_1+E_2}{2},\delta = \frac{E_1-E_2}{2}Em​=2E1​+E2​​,δ=2E1​−E2​​, 则
H=Em1^+[δW21∗W21−δ]=Em1^+δ2+∣W21∣2σuσu=1δ2+∣W21∣2[W12+W212iW12−W212δ]H = E_m \hat 1+\left[ \begin{matrix} \delta & W_{21}^* \\ W_{21} & -\delta\end{matrix} \right]=E_m \hat 1+\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}\sigma_u \\ \sigma_u = \frac{1}{\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}}\left[ \begin{matrix} \frac{W_{12}+W_{21}}{2} \\ i\frac{W_{12}-W_{21}}{2} \\ \delta \end{matrix} \right]H=Em​1^+[δW21​​W21∗​−δ​]=Em​1^+δ2+∣W21​∣2​σu​σu​=δ2+∣W21​∣2​1​⎣⎡​2W12​+W21​​i2W12​−W21​​δ​⎦⎤​

HHH的本征值为
E+=Em+δ2+∣W21∣2E1=Em−δ2+∣W21∣2E_+=E_m+\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2} \\ E_1 = E_m - \sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}E+​=Em​+δ2+∣W21​∣2​E1​=Em​−δ2+∣W21​∣2​

本征态为
∣ψ+⟩=cos⁡θ2e−iϕ2∣u1⟩+sin⁡θ2eiϕ2∣u2⟩∣ψ−⟩=−sin⁡θ2e−iϕ2∣u1⟩+cos⁡θ2eiϕ2∣u2⟩θ=arctan⁡∣W21∣δ,ϕ=Arg(W12)|\psi_+ \rangle= \cos \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i \phi}{2}}|u_1 \rangle+ \sin \frac{\theta}{2} e^{\frac{i \phi}{2}} |u_2 \rangle \\ |\psi_- \rangle=- \sin \frac{\theta}{2} e^{-\frac{i \phi}{2}}|u_1 \rangle+ \cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{i \phi}{2}} |u_2 \rangle \\ \theta = \arctan \frac{|W_{21}|}{\delta},\phi = Arg(W_{12})∣ψ+​⟩=cos2θ​e−2iϕ​∣u1​⟩+sin2θ​e2iϕ​∣u2​⟩∣ψ−​⟩=−sin2θ​e−2iϕ​∣u1​⟩+cos2θ​e2iϕ​∣u2​⟩θ=arctanδ∣W21​∣​,ϕ=Arg(W12​)

下面讨论任意量子态的演化规律：假设初始态为
∣ψ(0)⟩=a1(0)∣u1⟩+a2(0)∣u2⟩|\psi(0) \rangle = a_1(0)|u_1 \rangle + a_2(0)|u_2 \rangle∣ψ(0)⟩=a1​(0)∣u1​⟩+a2​(0)∣u2​⟩

目标是得到
∣ψ(t)⟩=a1(t)∣u1⟩+a2(t)∣u2⟩|\psi(t) \rangle = a_1(t)|u_1 \rangle + a_2(t)|u_2 \rangle∣ψ(t)⟩=a1​(t)∣u1​⟩+a2​(t)∣u2​⟩

这里的系数含义是状态转移概率幅，从0时刻到ttt时刻，由量子态∣u1⟩|u_1 \rangle∣u1​⟩转移到∣u2⟩|u_2 \rangle∣u2​⟩与量子态∣u2⟩|u_2 \rangle∣u2​⟩转移到∣u1⟩|u_1 \rangle∣u1​⟩的概率为
P1→2(t)=∣a2(t)∣2,P2→1(t)=∣a1(t)∣2P_{1 \to 2} (t)=|a_2(t)|^2,P_{2 \to 1}(t)=|a_1(t)|^2P1→2​(t)=∣a2​(t)∣2,P2→1​(t)=∣a1​(t)∣2

要做这个计算有下面两种方法：

  • 将∣ψ(0)⟩|\psi(0) \rangle∣ψ(0)⟩变换到基{∣ψ+⟩,∣ψ−⟩}\{|\psi_+ \rangle,|\psi_- \rangle\}{∣ψ+​⟩,∣ψ−​⟩}的表象下，然后使用Time-evolving operator U(t)U(t)U(t)
  • 将Time-evolving operator U(t)U(t)U(t)变换到基{∣u1⟩,∣u2⟩}\{|u_1 \rangle,|u_2 \rangle\}{∣u1​⟩,∣u2​⟩}的表象下，然后应用∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩|\psi(t) \rangle = U(t)|\psi(0) \rangle∣ψ(t)⟩=U(t)∣ψ(0)⟩

    • 结果为
    {a1(t)=a1(0)(cos⁡2θ2e−iΩt/2+sin⁡2θ2eiΩt/2)−ia2(0)sin⁡θe−iϕsin⁡Ωt2a2(t)=a2(0)(sin⁡2θ2e−iΩt/2+cos⁡2θ2eiΩt/2)−ia1(0)sin⁡θeiϕsin⁡Ωt2\begin{cases} a_1(t)=a_1(0) \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} e^{-i \Omega t/2}+ \sin^2 \frac{\theta}{2} e^{i \Omega t/2}\right)-ia_2(0)\sin \theta e^{-i \phi}\sin \frac{\Omega t}{2} \\ a_2(t)=a_2(0) \left( \sin^2 \frac{\theta}{2} e^{-i \Omega t/2}+ \cos^2 \frac{\theta}{2} e^{i \Omega t/2}\right)-ia_1(0)\sin \theta e^{i \phi}\sin \frac{\Omega t}{2}\end{cases}{a1​(t)=a1​(0)(cos22θ​e−iΩt/2+sin22θ​eiΩt/2)−ia2​(0)sinθe−iϕsin2Ωt​a2​(t)=a2​(0)(sin22θ​e−iΩt/2+cos22θ​eiΩt/2)−ia1​(0)sinθeiϕsin2Ωt​​

    其中
    Ω=E+−E−ℏ=2ℏδ2+∣W21∣2\Omega = \frac{E_+-E_-}{\hbar}=\frac{2}{\hbar}\sqrt{\delta^2+|W_{21}|^2}Ω=ℏE+​−E−​​=ℏ2​δ2+∣W21​∣2​

    考虑一个特例，比如a1(0)=1,a2(0)=0a_1(0)=1,a_2(0)=0a1​(0)=1,a2​(0)=0，则
    P1→2(t)=sin⁡2θsin⁡2Ωt2,P1→1=1−P1→2(t)P_{1 \to 2}(t) = \sin^2 \theta \sin^2 \frac{\Omega t}{2},P_{1 \to 1}=1-P_{1 \to 2}(t)P1→2​(t)=sin2θsin22Ωt​,P1→1​=1−P1→2​(t)

    定义
    Δ=E1−E2ℏ=2δℏΩ0=2ℏW21=∣Ω0∣eiϕ\Delta = \frac{E_1-E_2}{\hbar} = \frac{2 \delta }{\hbar} \\ \Omega_0 = \frac{2}{\hbar}W_{21} = |\Omega_0|e^{i \phi}Δ=ℏE1​−E2​​=ℏ2δ​Ω0​=ℏ2​W21​=∣Ω0​∣eiϕ

    则哈密顿量为
    H{u}=[EmEm]+ℏ2[ΔΩ0∗Ω0−Δ]E±=Em±ℏ2Ω,Ω=Δ2+∣Ω0∣2H_{\{u\}} = \left[ \begin{matrix} E_m \\ & E_m \end{matrix} \right] +\frac{\hbar}{2}\left[ \begin{matrix} \Delta & \Omega_0^* \\ \Omega_0 & - \Delta \end{matrix} \right] \\ E_{\pm} = E_m \pm \frac{\hbar}{2}\Omega,\ \Omega = \sqrt{\Delta^2+|\Omega_0|^2}H{u}​=[Em​​Em​​]+2ℏ​[ΔΩ0​​Ω0∗​−Δ​]E±​=Em​±2ℏ​Ω, Ω=Δ2+∣Ω0​∣2​

    状态转移概率为
    P1→2(t)=∣Ω0∣2Ω2sin⁡2Ωt2P_{1 \to 2}(t)=\frac{|\Omega_0|^2}{\Omega^2}\sin^2 \frac{\Omega t}{2}P1→2​(t)=Ω2∣Ω0​∣2​sin22Ωt​

    这个公式被称为Rabi公式，在2-level system中处理状态转移时这个公式具有通用性，其中Ω0\Omega_0Ω0​被称为Resonant Rabi frequency；Ω\OmegaΩ被称为Rabi frequency或者generalized Rabi frequency；Δ\DeltaΔ被称为detuning；这个公式是Rabi Oscillation模型的一部分；∣Ω0∣2Ω2\frac{|\Omega_0|^2}{\Omega^2}Ω2∣Ω0​∣2​被称为Rabi oscillations的振幅；在Δ=0,Ω=Ω0\Delta=0,\Omega=\Omega_0Δ=0,Ω=Ω0​时，称P1→2(t)P_{1 \to 2}(t)P1→2​(t)的半个周期，t=π∣Ω0∣t=\frac{\pi}{|\Omega_0|}t=∣Ω0​∣π​为π\piπ-pulse，整个周期为2π2\pi2π-pulse。

    Bloch vector为
    ⟨σ⟩=(⟨σx⟩,⟨σy⟩,⟨σz⟩)\langle \sigma \rangle = (\langle \sigma_x \rangle,\langle \sigma_y \rangle,\langle \sigma_z \rangle)⟨σ⟩=(⟨σx​⟩,⟨σy​⟩,⟨σz​⟩)

    在量子态∣ψ⟩=a1∣u1⟩+a2∣u2⟩|\psi \rangle=a_1|u_1 \rangle+a_2 |u_2 \rangle∣ψ⟩=a1​∣u1​⟩+a2​∣u2​⟩中，
    ⟨σz⟩=[a1∗a2∗][100−1][a1a2]=∣a1∣2−∣a2∣2\langle \sigma_z \rangle = \left[\begin{matrix} a_1^* & a_2^* \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix} \right]=|a_1|^2-|a_2|^2⟨σz​⟩=[a1∗​​a2∗​​][10​0−1​][a1​a2​​]=∣a1​∣2−∣a2​∣2

    类似地，
    ⟨σx⟩=a1∗a2+a1a2∗,⟨σy⟩=−ia1∗a2+ia1a2∗\langle \sigma_x \rangle=a_1^*a_2+a_1a_2^*,\langle \sigma_y \rangle=-ia_1^*a_2+ia_1a_2^*⟨σx​⟩=a1∗​a2​+a1​a2∗​,⟨σy​⟩=−ia1∗​a2​+ia1​a2∗​

    总结

    以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学25 2-level System的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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