当前位置：首页 > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子

发布时间：2025/4/14 编程问答 58 豆豆

生活随笔收集整理的这篇文章主要介绍了 UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子

- 哈密顿量与本征函数
- 氢原子能量本征态

哈密顿量与本征函数

这一讲讨论spinless hydrogen，在氢原子中，只有一个电子 $e^-$ 与一个质子 $p^+$ ，它们之间的库仑势为
$V(r)=−e24πϵ0rV(r)=-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$

忽略电子与质子的自旋，讨论单个氢原子系统的哈密顿量以及演化规律。哈密顿量的计算比较简单，
$H=∣p∣22μ−e24πϵ0∣r∣,μ=mempme+mpH=\frac{|\textbf p|^2}{2\mu}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 |\textbf r|},\mu=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}$

因为 $m_e<<m_p$ ， $μ≈me\mu \approx m_e$ ，记 $e0=e24πϵ0e_0=\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0}$ ， $r=∣r∣r=|\textbf r|$ ，在位置表象下， $∣p∣2=p⋅p|\textbf p|^2=\textbf p \cdot \textbf p$ 的作用等价于 $(iℏ∇)⋅(iℏ∇)=−ℏ2∇2(i\hbar \nabla) \cdot (i\hbar \nabla)=-\hbar^2 \nabla^2$ ，所以哈密顿量的算符表示为
$H=−ℏ22me∇2−e02rH=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2 - \frac{e_0^2}{r}$

它的本征函数满足
$\psi_{n,l,m}(r ,\theta,\phi)=E_n \psi_{n,l,m}(r ,\theta,\phi)$

其中 $n, l, m$ 被称为quantum numbers， $\ge 1$ , $\le l <n$ , $\le l$ 且三者均为整数。

下面是本征函数的解，老师的原话是You need a mathematician friend to help you solve the equations…

$En=−EIn,EI=mee042ℏ2≈13.6eVE_n=-\frac{E_I}{n},E_I=\frac{m_ee_0^4}{2 \hbar^2} \approx 13.6 eV$

$E_I$ 被称为ionization energy of hydrogen，本征函数具有如下形式
$ψn,l,m(r,θ,ψ)=Rn,l(r)Ylm(θ,ψ)\psi_{n,l,m}(r,\theta,\psi)=R_{n,l}(r)Y_l^m(\theta,\psi)$

引入 $a0=ℏ2mee02≈5.29×10−11ma_0=\frac{\hbar^2}{m_ee_0^2}\approx 5.29 \times 10^{-11}m$ ， $ρ=2rna0\rho=\frac{2r}{na_0}$ ，
$Rn,l(r)=(2na0)3(n−l−1)!2n[(n+1)!]3e−ρlzρl(−1)2l+1(ddρ)2l+1(eρ(ddρ)n+le−ρρn+l)R_{n,l}(r)=\sqrt{\left( \frac{2}{na_0}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+1)!]^3}}e^{-\rho l z}\rho^l (-1)^{2l+1}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{2l+1} \left( e^{\rho}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{n+l} e^{-\rho}\rho^{n+l} \right)$

其中 $(−1)2l+1(ddρ)2l+1(eρ(ddρ)n+le−ρρn+l)(-1)^{2l+1}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{2l+1} \left( e^{\rho}\left( \frac{d}{d \rho} \right)^{n+l} e^{-\rho}\rho^{n+l} \right)$ 为Associate Laguerre Polynomial， $Ylm(θ,ψ)=eiml(−1)m(sin⁡2θ)m/2(ddcos⁡θ)m(12ll!(ddcos⁡θ)l(cos⁡2θ−1)l)Y_l^m(\theta,\psi)=e^{iml}(-1)^m(\sin^2 \theta)^{m/2} \left( \frac{d}{d \cos \theta}\right)^m \left( \frac{1}{2^ll!}\left( \frac{d}{d \cos \theta}\right)^l (\cos^2 \theta - 1)^l \right)$

其中 $(−1)m(sin⁡2θ)m/2(ddcos⁡θ)m(12ll!(ddcos⁡θ)l(cos⁡2θ−1)l)(-1)^m(\sin^2 \theta)^{m/2} \left( \frac{d}{d \cos \theta}\right)^m \left( \frac{1}{2^ll!}\left( \frac{d}{d \cos \theta}\right)^l (\cos^2 \theta - 1)^l \right)$ 为associate Legendre Polynomial。 $R_{n,l}$ 与 $Y_{l}^m$ 都是标准化的函数，所以
$∫∣ψn,l,m(r,θ,ψ)∣2r2sin⁡θdrdθdψ=1∫∣Ylm∣2sin⁡θdθdψ=1∫r2∣Rn,l∣2dr=1\int |\psi_{n,l,m}(r,\theta,\psi)|^2 r^2 \sin \theta dr d \theta d \psi = 1 \\ \int |Y_l^m|^2 \sin \theta d \theta d \psi = 1 \\ \int r^2 |R_{n,l}|^2 d r =1$

氢原子能量本征态

$ψn,l,m\psi_{n,l,m}$ 实际上是CSCO ${H,L^2,L_z\}$ 的本征函数，
$Hψn,l,m=−EIn2ψn,l,mL2ψn,l,m=ℏ2l(l+1)ψn,l,mLzψn,l,m=ℏmψn,l,mH\psi_{n,l,m}=-\frac{E_I}{n^2}\psi_{n,l,m} \\ L^2 \psi_{n,l,m} = \hbar^2 l(l+1)\psi_{n,l,m} \\ L_z \psi_{n,l,m} = \hbar m \psi_{n,l,m}$

也就是说这三个算符的测量值都可以唯一识别出一个quantum number，所以量子态 $∣ψn,l,m⟩|\psi_{n,l,m} \rangle$ 也可以简记为 $\rangle$ ，从而氢原子能量、角动量的本征方程为
$\rangle = -\frac{E_I}{n^2}|n,l,m \rangle \\ L^2|n,l,m \rangle = \hbar^2 l (l+1)|n,l,m \rangle \\ L_z|n,l,m \rangle = \hbar m|n,l,m \rangle$

Ground state为 $\rangle$ ，波函数为
$ψ1,0,0=1πa03e−ra0\psi_{1,0,0}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-\frac{r}{a_0}}$

根据这个波函数，大部分概率集中在 $\in [0,a_0]$ 上，称 $a_0$ 为Bohr radius，它的含义就是未激发的氢原子中围绕着氢原子核的那团概率云的半径；此时电子没有orbital angular momentum，另外，本征态 $\rangle$ 是可以与化学中的原子轨道记号联系起来的，其中 $n$ 代表第 $n$ 级轨道； $l$ 代表能级

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学26 无自旋的氢原子的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。

上一篇： UA OPTI570 量子力学25 2-
下一篇： UA OPTI512R 傅立叶光学导论1