UA OPTI512R 傅立叶光学导论22 透镜成像与傅立叶变换

UA OPTI512R 傅立叶光学导论22 透镜成像与傅立叶变换

• • 透镜的物理光学模型
  • 透镜成像原理

透镜(lens)应该是大家接触最多应用最广泛的光学元件了，在几何光学中，研究透镜成像时遵循一些基础假设，但在傅立叶光学中，我们需要用物理光学的方法建立光的波形在经过透镜前后的方程，从而在模型上用Fourier变换描述光的传播中透镜的作用，用这样的方法研究透镜及其成像原理在工程上具有很重要的意义。

考虑下图所示凸透镜，

假设透镜材料折射率为$n_1=n$，透镜之外的区域折射率为$n_0=1$，用$\Delta (x,y)$表示透镜沿$z$方向的宽度，最大宽度为${\Delta }_0$，用$R_1$与$-R_2$表示透镜入射面与出射面的半径。

透镜的物理光学模型

透镜的物理光学性质

假设一束光从$(x,y)$处入射，经过透镜前后的光程差(optical path difference, OPD)为（假设透镜非常薄，也就是只考虑$z$轴上的路程，在透镜中的路程为$\Delta (x,y)$，在透镜外的路程为${\Delta }_0-\Delta (x,y)$，所以）
$$OPD(x,y)=n\Delta (x,y)+n_0[{\Delta }_0-\Delta (x,y)]$$

对应的相位差为
$$\varphi (x,y)=\frac{2\pi }{\lambda }OPD(x,y)=kn\Delta (x,y)+k[{\Delta }_0-\Delta (x,y)]$$

其中波数$k=\frac{2\pi }{\lambda }$，当透镜非常薄时，它对光的吸收可以忽略不计，因此在通过透镜前后，光的幅度不变，只有相位发生了改变。根据这个观察，我们可以用一个只改变相位的函数对透镜进行建模：
$$t_l=e^{kn\Delta (x,y)+k[{\Delta }_0-\Delta (x,y)]}=e^{jk{\Delta }_0}{e}^{jk(n-1)\Delta (x,y)}$$

用$u_i$表示入射光的波形，$u_l$表示出射光的波形，则透镜的作用可以表示为
$$u_l(x,y)=u_i(x,y)t_l(x,y)$$

透镜的几何性质
为了对透镜做更精细的建模，我们需要用一些几何关系确定$\Delta (x,y)$的表达式。

按中轴线把透镜分为入射区域和出射出射区域两部分，分别用下标$1,2$表示，
$$\Delta (x,y)={\Delta }_1(x,y)+{\Delta }_2(x,y)$$

其中
$$\begin{array}{rl}{\Delta }_1(x,y)& ={\Delta }_{10}-\left(R_1-\sqrt{R_1^2-(x^2+y^2)}\right)\\ & ={\Delta }_{10}-R_1\left(1-\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}\right)\end{array}$$

假设透镜的长度远小于$R_1,R_2$，用一阶Taylor展开近似
$$1-\sqrt{1-\frac{x^2+y^2}{R_1^2}}\approx \frac{x^2+y^2}{2R_1^2}$$

所以$${\Delta }_1(x,y)={\Delta }_{10}-\frac{x^2+y^2}{2R_1}$$

类似地，$${\Delta }_2(x,y)={\Delta }_{20}+\frac{x^2+y^2}{2R_2}$$

因此，
$$\begin{array}{rl}\Delta (x,y)& ={\Delta }_{10}-\frac{x^2+y^2}{2R_1}+{\Delta }_{20}+\frac{x^2+y^2}{2R_2}\\ & ={\Delta }_0-\frac{x^2+y^2}{2}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)\end{array}$$

透镜的焦距满足
$$\frac{1}{f}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

所以
$$t_l(x,y)=e^{jk{\Delta }_0}{e}^{jk(n-1)\Delta (x,y)}=e^{jkn{\Delta }_0}{e}^{-j\frac{\pi }{\lambda f}(x^2+y^2)}$$

透镜成像原理

球面波作为入射光
用球面波的quandratic approximation，
$$u_i(x,y)=\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda R}(x^2+y^2)}$$

其中$R$表示球面波波前的半径，

• $R>0$，diverging wave（发散的光束）
• $R<0$，converging wave（收敛的光束）
• $R=\infty$, 平面波（平行光束）

经过透镜后，波形变为
$$\begin{array}{rl}{u}_l(x,y)& =u_i(x,y)t_l(x,y)\\ & =\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}{e}^{j\frac{\pi }{\lambda }\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{f}\right)(x^2+y^2)}\end{array}$$

显然经过透镜后的波形由$\frac{1}{R}-\frac{1}{f}$决定，比如

• $R=f$，平面波
• $0<f<R$，diverging wave变成converging wave
• $R<f<0$，converging wave变成diverging wave
• $R=\infty$, $f>0$ (positive lens)，平面波变为converging wave；$f<0$ (negative lens), 平面波变为diverging wave
  

与透镜入射面接触的物体

用$t_0(x,y)$物体的形状，$P(x,y)$表示一个aperture，则出射波的波形为
$$u_l=t_0(x,y)P(x,y)\underset{透镜导致的相位}{e^{-j\frac{\pi }{\lambda f}(x^2+y^2)}}$$

在后焦平面(back focal plane)上，波形用Fresnel衍射公式计算

一个应用：在上一讲，我们看了很多衍射的实验图，比如在双缝夫琅禾费衍射的实验中，为了观察到夫琅禾费衍射的条纹，我们需要双缝与接收器之间的距离达到几百米甚至一千米，这对实验室的要求非常高。但是如果我们把双缝放在一个透镜后面，用$t_0$作为光源，我们在后焦平面上就可以观察到双缝夫琅禾费衍射条纹。

透镜前的物体

光从物体所在位置传播到后焦平面分为三个阶段：第一阶段是从$u_i(x,y)$到$u_l(x^{\prime },y^{\prime })$，这个过程可以用Fresnel衍射公式计算
$$u_l(x^{\prime },y^{\prime })=\frac{e^{jk{d}_0}}{j\lambda d_0}\iint u_i(x,y)e^{j\frac{\pi }{\lambda d_0}[(x-x^{\prime }{)}^2+(y-y^{\prime }{)}^2]}dxdy$$第二个阶段是从$u_l$到$u_l^{\prime }$通过透镜的过程，这个过程只发生了相位改变，

第三个阶段是从$u_l^{\prime }$向后焦平面方向继续传播的过程，这个过程也可以用Fresnel衍射公式计算

由此可以得到在后焦平面上的波形为

一种特殊情况是$d_0=f$，此时

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI512R 傅立叶光学导论22 透镜成像与傅立叶变换的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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