UA OPTI570 量子力学 公式与结论总结1 角动量基础

UA OPTI570 量子力学 公式与结论总结1 角动量基础

• • 角动量算符基础

角动量算符基础

角动量算符的定义 一个三元组$\text{J}=(J_x,J_y,J_z)$被称为角动量算符，如果
$$\begin{gathered} [J_x,J_y]=i\hslash J_z \\ [J_y,J_z]=i\hslash J_x \\ [J_z,J_x]=i\hslash J_y \end{gathered}$$

角动量算符的性质 记${\text{J}}^2=J_x^2+J_y^2+J_z^2,J_{+}=J_x+i{J}_y,J_{-}=J_x-i{J}_y$

$[{\text{J}}^2,J_k]=0,k=x,y,z$

$\{{\text{J}}^2,J_k\}$是CSCO，$k=x,y,z$，通常用$\{{\text{J}}^2,J_z\}$作为CSCO

$J_x=\frac{J_{+}+J_{-}}{2},J_y=-\frac{i}{2}(J_{+}-J_{-})$

${\text{J}}^2|j,m_z⟩=j(j+1){\hslash }^2|j,m_z⟩,J_z|j,m_z⟩=m_z\hslash |j,m_z⟩$其中$j$是整数或者$j+\frac{1}{2}$是整数，给定$j$的取值，它被称为角动量的量子数，$m_z\in [-j,j]$且$m_z$也是整数；

$J_{\pm }|j,m_j⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m_j(m_j\pm 1)}|j,m_j\pm 1⟩,J_{\pm }|j,\pm j⟩=0$

假设$\hat{u}$表示空间中的任意标准化的方向向量，记$J_u=\text{J}\cdot \hat{u}$，则$J_u|j,m_u⟩=\hslash m_u|j,m_u⟩$

角动量的态空间与表征 角动量的态空间${\mathcal{E}}_j$的维数为$2j+1$，基为$\{|j,m_z⟩\}$，基的矩阵表示从$|j,j⟩$到$|j,-j⟩$依次为$e_1,e_2,\cdots ,e_{2j+1}$，其中$e_k$表示第$k$个元素为1，其余元素均为0的$2j+1$维列向量。

例1：${\mathcal{E}}_{j=3/2}$的维数是$4$，基为$\{|3/2,3/2⟩,|3/2,1/2⟩,|3/2,-1/2⟩,|3/2,-3/2⟩\}$，基的矩阵表示为
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$根据角动量的性质4，如果测量${\text{J}}^2$，只有可能得到$j(j+1){\hslash }^2=\frac{15}{4}{\hslash }^2$，于是角动量的大小为$\sqrt{\frac{15}{4}}\hslash$；如果测量$J_z$可能得到$\frac{3}{2}\hslash ,\frac{1}{2}\hslash ,-\frac{1}{2}\hslash ,-\frac{3}{2}\hslash$；如果在某次测量中得到$J_z$为$\frac{1}{2}\hslash$，说明此时量子态为$|j=3/2,m_z=1/2⟩$。

例2：用$\{{\text{J}}^2,J_z\}$作为CSCO，考虑态空间${\mathcal{E}}_{j=1}$，基为$\{|j=1,m_z=1⟩,|j=1,m_z=0⟩,|j=1,m_z=-1⟩\}$，简记为$\{|+⟩,|0⟩,|-⟩\}$，它们的矩阵表示为
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

用性质4计算，比如$⟨+|{\text{J}}^2|+⟩=2{\hslash }^2⟨+|+⟩=2{\hslash }^2$，所以${\text{J}}^2$的矩阵表示为
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}⟨+|{\text{J}}^2|+⟩& ⟨+|{\text{J}}^2|0⟩& ⟨+|{\text{J}}^2|-⟩\\ ⟨0|{\text{J}}^2|+⟩& ⟨0|{\text{J}}^2|0⟩& ⟨0|{\text{J}}^2|-⟩\\ ⟨-|{\text{J}}^2|+⟩& ⟨-|{\text{J}}^2|0⟩& ⟨-|{\text{J}}^2|-⟩\end{array}\right]\end{array}=2{\hslash }^2\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

同样用性质4计算，比如$⟨-|J_z|-⟩=-\hslash ⟨-|-⟩=-\hslash$，所以$J_z$的矩阵表示为
$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}⟨+|J_z|+⟩& ⟨+|J_z|0⟩& ⟨+|J_z|-⟩\\ ⟨0|J_z|+⟩& ⟨0|J_z|0⟩& ⟨0|J_z|-⟩\\ ⟨-|J_z|+⟩& ⟨-|J_z|0⟩& ⟨-|J_z|-⟩\end{array}\right]\end{array}=\hslash \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

要得到$J_x$与$J_y$的矩阵表示，根据性质3，可以先得到$J_{+}$与$J_{-}$的矩阵表示，为此我们用性质5计算，比如$⟨+|J_{+}|0⟩=\sqrt{2}\hslash ⟨+|+⟩=\sqrt{2}\hslash ,⟨-|J_{-}|0⟩=\sqrt{2}\hslash ⟨-|-⟩=\sqrt{2}\hslash$，可得
$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}⟨+|J_{+}|+⟩& ⟨+|J_{+}|0⟩& ⟨+|J_{+}|-⟩\\ ⟨0|J_{+}|+⟩& ⟨0|J_{+}|0⟩& ⟨0|J_{+}|-⟩\\ ⟨-|J_{+}|+⟩& ⟨-|J_{+}|0⟩& ⟨-|J_{+}|-⟩\end{array}\right]\end{array}=\sqrt{2}\hslash \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}⟨+|J_{-}|+⟩& ⟨+|J_{-}|0⟩& ⟨+|J_{-}|-⟩\\ ⟨0|J_{-}|+⟩& ⟨0|J_{-}|0⟩& ⟨0|J_{-}|-⟩\\ ⟨-|J_{-}|+⟩& ⟨-|J_{-}|0⟩& ⟨-|J_{-}|-⟩\end{array}\right]\end{array}=\sqrt{2}\hslash \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

根据性质3可得$J_x$与$J_y$的矩阵表示，下标给出了$J_x,J_y,J_z$的矩阵表示及其特征值：

例3：同样考虑态空间${\mathcal{E}}_1$，但考虑两组基，$\{|j=1,m_z=1⟩,|j=1,m_z=0⟩,|j=1,m_z=-1⟩\}$与$\{|j=1,m_x=1⟩,|j=1,m_x=0⟩,|j=1,m_x=-1⟩\}$，简记为$\{|z+⟩,|z0⟩,|z-⟩\}$与$\{|x+⟩,|x0⟩,|x-⟩\}$，记这两组基下角动量算符的矩阵表示为$\{J_x^{(z)},J_y^{(z)},J_z^{(z)}\}$与$\{J_x^{(x)},J_y^{(x)},J_z^{(x)}\}$，例2中我们讨论了第一组矩阵表示，现在我们计算第二组矩阵表示。

第一步，计算$J_x^{(z)}$的特征值与特征向量（见上表）；

第二步，给$|x+⟩,|x0⟩,|x-⟩$引入global phase factor $\alpha ,\beta ,\gamma$并根据特征向量写出变换矩阵$$S=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}{e}^{i\alpha }& \sqrt{2}{e}^{i\beta }& e^{i\gamma }\\ \sqrt{2}{e}^{i\alpha }& 0& -\sqrt{2}{e}^{i\gamma }\\ e^{i\alpha }& -\sqrt{2}{e}^{i\beta }& e^{i\gamma }\end{array}\right]$$

第三步，计算
$$\begin{gathered} J_x^{(x)}=S^{†}{J}_x^{(z)}S=\hslash \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right] \\ {J}_y^{(x)}=S^{†}{J}_y^{(z)}S=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}0& i{e}^{-i(\alpha -\beta )}& 0\\ -i{e}^{i(\alpha -\beta )}& 0& i{e}^{i(\gamma -\beta )}\\ 0& -i{e}^{-i(\gamma -\beta )}& 0\end{array}\right] \\ {J}_z^{(x)}=S^{†}{J}_z^{(z)}S=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ccc}0& e^{-i(\alpha -\beta )}& 0\\ e^{i(\alpha -\beta )}& 0& e^{i(\gamma -\beta )}\\ 0& e^{-i(\gamma -\beta )}& 0\end{array}\right] \end{gathered}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI570 量子力学 公式与结论总结1 角动量基础的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

如果觉得生活随笔网站内容还不错，欢迎将生活随笔推荐给好友。