UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开

UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开

• • 柯西公式及其证明
  • 幂级数展开

柯西公式及其证明

假设$f$是$D$上的全纯函数，$\gamma$是$D$中的分段平滑正向封闭曲线，且$\gamma$围成区域的内部$\Omega$是$D$的子集，则
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z\in \Omega$$

证明 因为$z\in \Omega$，$\exists {\delta }_0>0$，$B(z,{\delta }_0)\subset \Omega$，取$\delta <{\delta }_0$，记$\bar{B}(z,\delta )=\{w:|w-z|\le \delta \}$表示closed neighbor of $z$，${\Omega }_{\delta }=\Omega \setminus \bar{B}(z,\delta )$（用closed neighbor是保证${\Omega }_{\delta }$为开集，去掉$z$的一个闭邻域是因为$\frac{f(w)}{w-z}$的奇点为$z$），在${\Omega }_{\delta }$上对$g(w)=\frac{f(w)}{w-z}$应用Green定理与Cauchy定理，
$$0=i{\iint }_{{\Omega }_{\delta }}\left(\frac{\partial g}{\partial x}+i\frac{\partial g}{\partial y}\right)dxdy={\int }_{\partial {\Omega }_{\delta }}g(z)dz$$

因为$\partial {\Omega }_{\delta }=\partial \Omega \bigsqcup \{w:|w-z|=\delta \}$（后者的定向为负），根据积分的可加性，
$${\int }_{\partial {\Omega }_{\delta }}g(z)dz={\int }_{\partial \Omega }g(z)dz-{\int }_{\{w:|w-z|=\delta \}}g(z)dz=0$$

其中$\partial \Omega =\gamma$，所以当$\delta \to 0$时，
$${\int }_{\gamma }g(z)dz={\int }_{\{w:|w-z|=\delta \}}g(z)dz\to 2\pi if(z)$$

这样就完成了证明。但需要注意最后一个等式，它可以用下面的引理直接得出：

引理 假设$f$在$B(z_0,r)$上连续，${\gamma }_{ϵ}=\{z:|z-z_0|=ϵ\}$，则
$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_{ϵ}}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)$$

简单证明一下这个引理。先将${\gamma }_{ϵ}$参数化：${\gamma }_{ϵ}(t)=z_0+ϵe^{it},t\in [0,2\pi ]$，代入到积分中，
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_{ϵ}}\frac{f(z)}{z-z_0}dz& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+ϵe^{it})}{ϵe^{it}}d(z_0+ϵe^{it})\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+ϵe^{it})dt\end{array}$$

因为$f$的连续性，
$$\begin{array}{rl}\left|\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+ϵe^{it})dt-f(z_0)\right|& =\left|\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+ϵe^{it})-f(z_0)dt\right|\\ & \le \underset{t\in [0,2\pi ]}{\max }|f(z_0+ϵe^{it})-f(z_0)|<ϵ\end{array}$$

这样就说明了引理为真。

幂级数展开

下面介绍一个Cauchy公式的应用。假设$f$是$D$上的全纯函数，$z_0\in D$，且$B(z_0,R)\subset D$，则$f$在$B(z_0,R)$中存在幂级数展开，
$$f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{a}_k(z-z_0{)}^k$$

并且
$$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{k+1}}dw$$

其中$\gamma =\{w:|w-z_0|=r\}$方向为正，$r<R$。这里给了幂级数展开的一个一般性公式，事实上，如果$f$是平滑函数，那么$a_k$可以用Taylor级数的系数表达式$$a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}$$

且这个结果与$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{k+1}}dw$相同；但如果$f$不是平滑函数，就只能用$a_k=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{k+1}}dw$这个公式计算幂级数展开的系数了。

下面给出复变函数幂级数的不严谨推导（只是提供一个大致的思路，完整证明可以参考Stephen Fisher的复变函数第二版的123-125页）：取$r<R$，在$B(z_0,r)$上，根据Cauchy公式，
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w-z}dw$$

其中$\gamma$为正向的圆$\{w:|w-z_0|=r\}$，因为$w$在圆上，$z$在圆内，所以$|z-z_0|<r$，并且$\frac{|z-z_0|}{|w-z_0|}<1$，由此用幂级数展开
$$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{w-z_0}\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{w-w_0}}=\frac{1}{w-z_0}\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{z-z_0}{w-z_0}\right)}^n$$

代入到Cauchy公式中，
$$\begin{array}{rl}f(z)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{w-z_0}\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(\frac{z-z_0}{w-z_0}\right)}^{n}dw\\ & =\sum _{n=0}^{+\infty }(z-z_0{)}^n\underset{a_n}{\left(\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}dw\right)}\end{array}$$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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