UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型

UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型

• • Bloch Vector与Optical Bloch Equation
  • • Bloch变量及其物理含义
    • Optical Bloch Equation的推导及其向量形式
    • Optical Bloch Equation的解

在2-level system approximation的Density Matrix模型中，我们提到了Density Matrix满足下面的约束：
$$\{\begin{array}{l}\text{population}:{\rho }_{11}+{\rho }_{22}=1\\ \text{coherence}:{\rho }_{12}={\rho }_{21}^{\ast }\end{array}$$

由此得出Density Matrix只需要三个实变量就可以描述，所以Density Matrix的演化方程
$$\{\begin{array}{l}{\dot{\rho }}_{11}=-{\Gamma }_1{\rho }_{11}+A_{21}{\rho }_{22}-\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{22}=-{\Gamma }_2{\rho }_{22}-A_{21}{\rho }_{22}+\frac{i}{2}(\chi {\rho }_{12}-{\chi }^{\ast }{\rho }_{21})\\ {\dot{\rho }}_{12}=(i\Delta -\beta ){\rho }_{12}+\frac{i{\chi }^{\ast }}{2}({\rho }_{22}-{\rho }_{11})={\dot{\rho }}_{21}^{\ast }\\ \beta =\frac{1}{\tau }+\frac{{\Gamma }_1+{\Gamma }_2}{2}+\frac{A_{21}}{2}\end{array}$$可以简化为三个实变量的微分方程，这一讲我们按这个思路进行推导。

Bloch Vector与Optical Bloch Equation

Bloch变量及其物理含义

为简化模型，假设${\Gamma }_1={\Gamma }_2=0$，即不考虑粒子间的非弹性碰撞。定义
$$\{\begin{array}{l}u={\rho }_{21}+{\rho }_{12}=2Re[{\rho }_{21}]\\ v=i({\rho }_{21}-{\rho }_{12})=2Im[{\rho }_{21}]\\ w={\rho }_{22}-{\rho }_{11}\end{array}$$

这三个变量被称为Bloch Variables。定义Bloch vector为$$S=[u,v,w{]}^{\prime }$$

用Bloch Variables表示Density Matrix，
$$\rho =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}{\rho }_{11}& {\rho }_{12}\\ {\rho }_{21}& {\rho }_{22}\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1-w& u+iv\\ u-iv& 1+w\end{array}\right]$$

因为$tr({\rho }^2)=\frac{1+|S{|}^2}{2}\le 1$，所以$|S{|}^2\le 1$，

• $|S{|}^2=1$，$tr({\rho }^2)=1$，此时Density Matrix表示的是pure state；
• $|S{|}^2<1$，$tr({\rho }^2)<1$，此时Density Matrix表示的是mixture state；
• $|S{|}^2=0$，$tr({\rho }^2)=1/2$，$\rho =diag(1/2,1/2)$，此时处于maximal mixture state；

$w$的含义是population inversion，也就是stimulated emission的概率与absorption的概率之差；因为电极化的期望为
$$⟨p⟩={\rho }_{12}{p}_{21}+{\rho }_{21}{p}_{12}=uRe[p_{12}]+vIm(p_{12})$$

所以$u$与$v$分别表示$⟨p⟩$与driving field $E$同相（in-phase）/正交（in-quadrature）的部分。

Optical Bloch Equation的推导及其向量形式

Bloch Variables $u,v,w$满足的微分方程被称为Optical Bloch Equation（OBE），假设$\chi =|\chi |e^{i\varphi }$，则
$$\begin{gathered} \dot{u}=2Re[{\dot{\rho }}_{12}]=-\Delta v-|\chi |w\sin \varphi \\ \dot{v}=2Im[{\dot{\rho }}_{12}]=\Delta u+|\chi |w\cos \varphi \\ \dot{w}={\dot{\rho }}_{11}+{\dot{\rho }}_{22}=-|\chi |(v\cos \varphi -u\sin \varphi ) \end{gathered}$$

定义扭矩为
$$Q=[-|\chi |\cos \varphi ,-|\chi |\sin \varphi ,\Delta ]$$

则OBE可以用向量形式表示：
$$\dot{S}=Q\times S$$

根据向量形式可以验证Bloch vector的长度守恒，
$$\dot{S^2}=S\cdot \dot{S}+\dot{S}\cdot S=S\cdot (Q\times S)+(Q\times S)\cdot S=0$$

因此Bloch Vector的演化不包含长度变化，只包含自旋，但只有在2-level system正好表示spin-1/2时，$S$才代表自旋角动量，具有实际物理意义；在一般情况下，$S$并不代表真实的自旋，所以被称为pseudo-spin。

以$|\psi ⟩=\frac{|1⟩-i|2⟩}{\sqrt{2}}$为例介绍用量子态计算Bloch Vector的方法：

计算Density Matrix $$\rho =\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{i}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{i}{2}\\ -\frac{i}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

根据Bloch Variables的定义计算$$\{\begin{array}{l}u=2Re[{\rho }_{12}]=0\\ v=2Im[{\rho }_{12}]=1\\ w={\rho }_{22}-{\rho }_{11}=0\end{array}$$所以$|\psi ⟩$对应的Bloch Vector为$[0,-1,0{]}^{\prime }$

Optical Bloch Equation的解

OBE是三阶常系数线性微分方程组，它的解是可以解析地写出来的。但我们这里只讨论两种特殊情况。

Case 1: $\Delta =0,\chi \in \mathbb{R}$，此时OBE简化为
$$\{\begin{array}{l}\dot{u}=0\\ \dot{v}=\chi w\\ \dot{w}=-\chi v\end{array}$$

选择合适的global phase factor使得$u(0)=0$，则$u$恒为0；$v,w$的解为
$$\{\begin{array}{l}v=-\sin \theta \\ w=-\cos \theta \end{array}$$

其中$\theta =\chi t$，也就是说$v,w$服从Rabi Oscillation。

Case 2：$\Delta =0$，$\chi =\chi (t)$，根据Pulse Area Theorem，
$$\{\begin{array}{l}v=-\sin \theta \\ w=-\cos \theta \end{array}$$

其中$\theta ={\int }_0^t\chi (t^{\prime })$

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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