文章目录

• 一、集合排列 和 多重集排列问题 1
• 二、 集合排列 和 多重集排列问题 2
• 三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )
• 四、 圆排列问题 1
• 五、 集合交替排列问题
• 六、 圆排列问题 2
• 七、 推广的牛顿二项式公式
• 八、 二项式展开问题

一、集合排列 和 多重集排列问题 1

题目 :

• 1.条件 : 由 字母 $a,b,c,d,e,f$ 组成 4 个字母的单词 ;
• 2.问题 1 : 每个字母在单词中 最多 出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
• 3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;

问题 1 解答 :

① 每个字母最多出现一次 , 那么该问题就是 集合的排列问题 , 即 $P(6,4)$ ;
② 计算步骤 : $$P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=6\times 5\times 4\times 3=360$$

解析 :
问题限定 :
1>集合排列 : 每个字母 最多 出现 1 次 , 这是将问题 限定在了 集合的排列 问题上 ;
2>多重集排列 : 如果每个字母 最多 出现 $n$ 次 ( $n>1$) , 那么就是多重集的排列 ;


利用乘法计数原则 , 从左到右依次计算 , 第 $1$ 位 有 $6$ 种 方案 , 每个单词只能出现 $1$ 次 , 因此第 $2$ 位 有 $5$ 种方案 , 第 $3$ 位 有 $4$ 种方案 , 第 $4$ 位 有 $3$ 种方案 ; 相乘后 结果 $6\times 5\times 4\times 3=360$ ;

问题 2 解答 :

① 如果允许重复 , 这就变成了多重集的 排列问题 ;
② 单词每一位都有 6 种方案 , 结果为 $6^4=1296$ 种方案数 ;

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二、 集合排列 和 多重集排列问题 2

题目 :

• 1.条件 : 由 字母 $a,b,c,d,e,f$ 组成 4 个字母的单词 ;
• 2.问题 1 : 每个字母在单词中 最多 出现一次 , 这样的单词个数有多少 ;
• 3.问题 2 : 如果字母允许重复 , 可以组成多少单词 ;

问题 1 解答 :

① 每个单词出现一次 , 该问题本质上是 6元集 ( 集合 ) 的 排列问题 , 使用集合排序公式 $P(n,r)$ 进行计算 ; $n$ 元集的 $r$ 排列 , 计算公式如下 :
$$P(n,r)=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

② 计算过程 :
$P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=6\times 5\times 4\times 3=360$

问题 2 解答 :

① 如果字母允许重复 , 该文本本质上就是多重集的 排列问题 ; 如果不限制 其出现次数 , 多重集 ( 有 $k$ 种元素 ) 中 选取 $r$ 个元素 , 可以使用公式 $k^r$ 进行计算 ;

② 结果是 $6^4=1296$ ;

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三、 找一一对应计算集合排列问题 ( 反向计算 )

题目 :

• 1.条件 : 从 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中选取不同的数字 ;
• 2.问题 : $4,5,6$ 不相邻的 $7$ 位数有多少 ; ( 这里不能出现 $4,5,6$ 任意一个排列 如 $654,546$ 等 ) ;

解答 :

分析 :

• 1.正面计算 : $4,5,6$ 不相邻的情况有很多 , 正面计算很困难 , 要考虑 个不相邻 , 2个 与 1个不相邻, 每个不相邻的数字之间的排列分布等情况 , 计算量很大 ;
• 2.寻找一一对应 : 这里 先计算 $4,5,6$ 相邻的 方案数 $A$ , $P(9,7)-A$ 与 $456$ 不相邻的 $7$ 位数字 方案数是一一对应的 ;

计算 $4,5,6$ 相邻的 $7$ 位数 方案数 :

① $7$ 位数 中 必定 含有 $4,5,6$ 三个数字 , 还需要选 $4$ 位数 ; 此处先统计下 这 三个数的全排列数 :
$P(3,3)=\frac{3!}{(3-3)!}=\frac{3\times 2\times 1}{1}=6$

② 一共有 $9$ 位数 , 其中 $3$ 位 是必须要选择 , 那么还剩下 $6$ 位可选数字 , 从剩下的 $6$ 位数中选 $4$ 位数字 ;
$P(6,4)=\frac{6!}{(6-4)!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=360$

③ $4$ 位数字选好之后, 开始安排 $4,5,6$ 相邻排列所在位置 ; $4$ 个数字 , 其 两端 和 中间 $3$ 个空隙 , 有 $5$ 个可选位置 ;

④ $4,5,6$ 相邻的 $7$ 位数 个数计算 :
$P(3,3)\times P(6,4)\times 5=6\times 360\times 5=10800$

⑤ $4,5,6$ 不相邻的 $7$ 位数 等价于 任意 $7$ 位数个数 减去 $4,5,6$ 相邻的 $7$ 位数个数 ;
$P(9,7)-10800=\frac{9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}-10800=181440-10800=17064$

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四、 圆排列问题 1

题目 :

• 1.条件 : $5$ 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
• 2.问题 $1$ : 每对夫妻相邻 , 有多少种方案 ;

解析 :
灵活使用圆排列公式 :
$n$ 元集 $S$ 的环形 $r-$ 排列数 :
$$\frac{P(n,r)}{r}=\frac{n!}{r(n-r)!}$$

解答 :
① 先让 $5$ 男坐下 , 使用公式计算 $5$ 元集 $S$ 的环境 $5-$排列;
$$\frac{P(5,5)}{5}=\frac{5!}{5\times 1}=4!=4\times 3\times 2\times 1=24$$

② 每个妻子都有两种选择 , 坐在丈夫左边 或者 右边 , 有 $2^5=32$ 种选择 ;

③ 根据乘法原则 : 共有 $24\times 32=768$ 种方案 ;

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五、 集合交替排列问题

题目 :

• 1.条件 : $5$ 个文科生 , $5$ 个理科生坐一排 ;
• 2.问题 $1$ : 有多少不同排法 ;
• 3.问题 $2$ : 交替坐成一排 有多少种 排法 ;

解答 :

问题 $1$ :

① 没有要求坐一排的话 就是 10 个人的 全排列 $P(10,10)$; 计算过程如下 :
$$P(10,10)=\frac{10!}{(10-10)!}=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{1}=3628800$$
② 结果是 3628800 种不同的排法 ;

问题 $2$ :

① 计算 $5$ 个文科生 作成一拍的 全排列 :
$$P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$

② 计算 $5$ 个理科生 坐成一排的全排列 :
$$P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$$

③ $5$ 个文科生 和 $5$ 个理科生 交替排成一排 , 那么有两种插空方式 : 计算最终结果 :
$$P(5,5)\times P(5,5)\times 2=120\times 120\times 2=14400\times 2=28800$$

④ 最终结果是有 $28800$ 种方案数 ;

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六、 圆排列问题 2

题目 :

• 1.条件 : $4$ 对夫妻参加宴会 , 围成一桌坐下 ;
• 2.问题 $1$ : 没有任何限制条件就座 , 有多少种方案 ;
• 2.问题 $1$ : 4男 4女排成一排 , 有多少种方案 ;
• 2.问题 $1$ : 夫妻相邻 , 有多少种方案 ;

解答 :

问题 $1$ :

① 没有任何限制条件的圆排列 , 使用公式 $n$ 元集的 环形 $r-$ 排列个数 : $\frac{P(n,r)}{r}$ ;

②计算过程如下 :
$$\frac{P(8,8)}{8}=\frac{8!}{8\times (8-8)!}=7!=5040$$

问题 $2$ :

① 男女交替 排法 : 先排列 4男 全排列 $P(4,4)$ , 再排列 4女 全排列 $P(4,4)$ , 在进行交替插空 , 有两种方案 ;

② 最终结果是 :
$$P(4,4)\times P(4,4)\times 2=1152$$

问题 $3$ :
① 夫妻相邻就座 : 首先让 丈夫 圆排列 $\frac{P(4,4)}{4}=3!=6$ , 然后让妻子 坐在丈夫左边 或右边 , 每人两种选择 $2^4=16$ 种选择 ;

② 最终结果是 $96$ 种 ;

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七、 推广的牛顿二项式公式

二项式定理 :

$$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$$

牛顿二项式公式 :

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$$

牛顿二项式公式 变体 :

$$(1+ax{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{x}^k$$

推广的牛顿二项式公式 :

$$(1+x{)}^{-n}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{-n}{k})x^k$$

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八、 二项式展开问题

题目 :

• 条件 : $(1+2x{)}^n$ 展开 , $(1\le k\le n)$
• 问题 : 其中 $x^k$ 的系数是多少 ;

问题分析 :

• ① 二项式定理 : $$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$$
• ② 推论 : $$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k$$
• ③ 换元法 : 使用 $ax$ 将推论中的 $x$ 替换 :

$$\begin{array}{lcl}(1+ax{)}^n& =& {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(ax{)}^k\\ & =& {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{x}^k\end{array}$$

解答 :

① 根据 牛顿二项式 的推广公式 :
$$(1+ax{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{x}^k$$

② $(1+2x{)}^n$ 的 $x^k$ 项为 : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k{x}^k$
$x^k$ 前面的系数是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k$

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总结

以上是生活随笔为你收集整理的【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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