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【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )

发布时间：2025/6/17 编程问答 43 豆豆
生活随笔 收集整理的这篇文章主要介绍了 【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 ) 小编觉得挺不错的,现在分享给大家,帮大家做个参考.

文章目录

        • 群的定义
        • 群的分类
        • 群的证明方法
        • 交换群的证明方法
        • 数集回顾
        • 群的证明



群的定义


群 的 定义 : 一个 非空 集合 GGG 中 , 如果 定义了 一个 “乘法” 运算 , 满足以下 四个 性质 , 那么 该 非空集合 GGG 称为 群 ;

  • 1. 封闭性 :
    • 1> 符号表示 : ∀a,b∈G,a×b=c∈G\forall a,b \in G , a \times b = c \in G∀a,b∈G,a×b=c∈G
    • 2> 自然语言描述 : 非空集合 GGG 中任意两个元素 a,ba,ba,b 相乘, 其结果 ccc 也是 集合 GGG 中的元素 ;
  • 2. 结合律 :
    • 符号表示 : ∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c\forall a,b, c \in G , a \times ( b \times c ) = (a \times b) \times c∀a,b,c∈G,a×(b×c)=(a×b)×c ;
  • 3. 有单位元 :
    • 1> 符号表示 : ∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a\exist e \in G, \forall a \in G, e \times a = a\times e = a∃e∈G,∀a∈G,e×a=a×e=a
    • 2> 自然语言描述 : 存在一个 eee , 乘以 aaa , 或者 与 aaa 相乘 , 其结果都是 aaa , 相当于 111 ;
  • 4. 每个元 aaa 有逆元 a−1a^{-1}a−1 :
    • 1> 符号表示 : ∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e\exist e \in G, \forall a \in G, \exist a^{-1} \in G, a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e∃e∈G,∀a∈G,∃a−1∈G,a−1×a=a×a−1=e ,
    • 2> 自然语言描述 : eee 是之前的 单位元 ( 类似于 111 ) , aaa 与 aaa 的逆 相乘 , 结果是单位元 eee ;

注意 :
这个 “乘法” 是指集合中元素的 “乘法” , 即 集合中元素的 二元运算 ;
G×GG \times GG×G 构成代数结构可以表示成 (G,⋅)( G , \cdot )(G,⋅)



群的分类


群 的 分类 :

  • 1.交换群 ( Abel 群 ) : 交换律 成立的 群 , 称为 交换群 或 Abel 群 ;
  • 2.非交换群 ( 非 Abel 群 ) : 交换律 不成立的 群 , 称为 非交换群 或 非 Abel 群 ;
  • 3.群 的 阶 : 群 GGG 含有的元素个数叫群的阶 , 记做 ∣G∣|G|∣G∣ ;
  • 4.有限群 : ∣G∣|G|∣G∣ 是 有限的 , 叫做 有限群 ;
  • 5.无限群 : ∣G∣|G|∣G∣ 是 无限的 , 叫做 无限群 ;


群的证明方法


群的证明方法 : 给定一个 集合 GGG 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

  • 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
  • 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
  • 3.证明结合律 : 集合中 aaa 与 bbb 和 ccc 进行二元运算 , 其结果 与 aaa 和 bbb 与 ccc 进行运算结果相同 ;
  • 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 eee 元素 , aaa 与 eee 和 eee 与 aaa 运算 结果都是 aaa ; 相当于乘法中的 111 或 加法中的 000 ;
  • 5.证明其逆元 : aaa 与 a−1a^{-1}a−1 或者 a−1a^{-1}a−1 与 aaa 进行运算 , 其结果是 eee 单位元 ;

满足以上 444 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;



交换群的证明方法


在群的证明方法基础上 , 证明其交换律成立 ;



数集回顾


数集 及 表示方法 :

  • 1.整数 : ZZZ , 所有整数组成的集合 , 称为 整数集 ;
  • 2.正整数 : Z+,N∗,N+Z^+,N^*,N^+Z+,N∗,N+ , 所有正整数组成的集合 , 称为正整数集 ;
  • 3.负整数 : Z−Z^-Z− , 所有负整数组成的集合 , 称为负整数集 ;
  • 4.非负整数 : NNN , 所有非负整数组成的集合 , 称为非负整数集 ( 或 自然数集 ) ;
  • 5.有理数 : QQQ , 全体有理数 组成的集合 , 称为有理数集 ;
  • 6.实数集 : RRR , 全体实数组成的集合 , 称为实数集 ;
  • 7.虚数 : III , 全体虚数组成的集合 , 称为虚数集 ;
  • 8.复数 : CCC , 全体实数 和 虚数 组成的集合 , 称为复数集 ;

有理数 : 是由整数除法产生的 , 可以由分数表示 , 其小数部分为 有限 或 无限循环小数 ;
实数 : 无理数一般是由正整数开方产生 , 实数与数轴上的点一一对应 , 包含有理数 和 无理数 , 无理数是无限不循环小数 ;
虚数 : 虚数一般是平方是负数或根号内是负数产生 , 虚数分为实部 或 虚部 ;

数集中的常用上标 用法 :

  • 1.正数 : +^++ 表示该数集中元素全为 正数 ;
  • 2.负数 : −^-− 表示该数集中的元素全为 负数 ;
  • 3.剔除 000 元素 : ∗^*∗ 表示剔除该数集上的元素 000 ;

R∗R^*R∗ 表示剔除 实数集 RRR 中的 元素 000 ,
R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)R^* = R \setminus \{0\} = R^- \cup R^+ = (- \infty , 0) \cup (0,+ \infty)R∗=R∖{0}=R−∪R+=(−∞,0)∪(0,+∞)



群的证明


题目 : 证明所有有理数 关于 乘法 构成一个群 ;


证明方法 : 给定一个 集合 GGG 和 二元运算 , 证明该集合是群 ;

  • 1.非空集合 : 首先说明 该集合是一个非空集合 ;
  • 2.证明封闭性 : 集合 中 任意两个元素 进行运算 得到的 第三个元素 必须也在 集合中 ;
  • 3.证明结合律 : 集合中 aaa 与 bbb 和 ccc 进行二元运算 , 其结果 与 aaa 和 bbb 与 ccc 进行运算结果相同 ;
  • 4.证明其有单位元 : 集合中存在一个 eee 元素 , aaa 与 eee 和 eee 与 aaa 运算 结果都是 aaa ; 相当于乘法中的 111 或 加法中的 000 ;
  • 5.证明其逆元 : aaa 与 a−1a^{-1}a−1 或者 a−1a^{-1}a−1 与 aaa 进行运算 , 其结果是 eee 单位元 ;

满足以上 444 个条件 , 就可以证明 该集合 是一个 关于该运算的 群 ;


证明 :

① 封闭性 : 有理数 相乘 肯定也是有理数 , 满足封闭性 ;
② 结合律 : 333 个 任意 有理数 相乘 , 显然也是 满足 结合律的 ;
③ 证明单位元 : 存在 e=1e=1e=1 , 有理数 乘以 1 或者 1 乘以 有理数 , 都等于该有理数 , 说明单位元存在 ;
④ 证明逆 a−1a^{-1}a−1 的存在 : 集合中的任意元素 aaa , 其 a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}a−1=a1​ , a−1×a=a×a−1=e=1a^{-1} \times a = a \times a^{-1} = e = 1a−1×a=a×a−1=e=1 , 其逆元成立 ;

因此 有理数 关于 乘法 构成一个群 ;

总结

以上是生活随笔为你收集整理的【代数结构】群 ( 群的定义 | 群的基本性质 | 群的证明方法 | 交换群 )的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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