UA OPTI501 电磁波 LIH介质中的平面波1 平面波的性质

UA OPTI501 电磁波 LIH介质中的平面波1 平面波的性质

• • LIH介质的含义
  • 平面波及其性质
  • 平面波的能量

LIH介质的含义

L代表Linear，如果
$$\begin{gathered} \text{P}(\text{r})e^{-iwt}={ϵ}_0{\chi }_e(w)\text{E}(\text{r})e^{-iwt} \\ \text{M}(\text{r})e^{-iwt}={\mu }_0{\chi }_m(w)\text{H}(\text{r})e^{-iwt} \end{gathered}$$

就称介质为线性介质；第一个方程就是Lorentz模型的结论，第二个方程是仿照第一个写出来的，表示magnetization与外部磁场成正比的方程。${ϵ}_0$是真空中的介电常数（permitivity），${\mu }_0$是真空中的磁化率（permeability），${\chi }_e$是electric susceptibility，${\chi }_m$是magnetic susceptibility；

I代表isotropic，即各向同性，它的含义是介质在各个方向关于电极化或者磁化有相同的性质，也就是在电极化与磁化的公式中，假设${\chi }_e$是对角矩阵，且对角元相等；${\chi }_m$也是对角元相等的对角矩阵，简单来说就是把${\chi }_e$与${\chi }_m$当成1维的数值而不是2阶张量即可；

H代表homogeneous，即同质性，它的含义是介质所表现的关于电极化或者磁化的性质与电磁场在介质中的位置无关，也就是说在介质的区域内，${\chi }_e$与${\chi }_m$是与位移无关的值。

在LIH介质中，
$$\text{D}={ϵ}_0\text{E}+\text{P}={ϵ}_0(1+{\chi }_e(w))\text{E}$$

记${ϵ}_r=1+{\chi }_e(w)$，它是relative permitivity；类似地，
$$\text{B}={\mu }_0\text{H}+\text{M}={\mu }_0(1+{\chi }_m)\text{H}$$

记${\mu }_r=1+{\chi }_m(w)$，它是relative permeability。

平面波及其性质

平面波的定义
称$\text{E},\text{H}$具有以下形式的电磁波为平面波：
$$\begin{gathered} \text{E}(\text{r},t)={\text{E}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)} \\ \text{H}(\text{r},t)={\text{H}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)} \end{gathered}$$

之所以称这种形式的电磁波为平面波是因为它在4-D时空中的波前为$\{(\text{r},t):\text{k}\cdot \text{r}-wt=const.\}$，也就是波前是一个平面；其中$\text{k}$是波向量(wave vector)，它的大小是波数（$2\pi /\lambda$, $\lambda$是波长），方向是电磁波的传播方向；$w$是电磁波的角频率（$w=2\pi /T$，$T$是电磁波的周期），在平面波中假设它是实数；电场、磁场与波向量都是复向量，用上标‘表示实部，上标’‘表示虚部，则
$$\begin{gathered} \text{k}={\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime } \\ {\text{E}}_0={\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime } \\ {\text{H}}_0={\text{H}}^{\prime }+i{\text{H}}_0^{\prime \prime } \end{gathered}$$

物理量的物理意义由实部体现，虚部的作用是指示物理量的polarization state，所以
$$\begin{array}{rl}\text{E}(\text{r},t)& =Re[({\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime })e^{i(({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })\cdot \text{r}-wt)}]\\ & =e^{-{\text{k}}^{\prime \prime }\cdot \text{r}}[{\text{E}}_0^{\prime }\cos (wt-{\text{k}}^{\prime }\cdot \text{r})+{\text{E}}_0^{\prime \prime }\sin (wt-{\text{k}}^{\prime }\cdot \text{r})]\end{array}$$

第一项代表电场在介质中沿${\text{k}}^{\prime \prime }$方向指数衰减，衰减强度为$|{\text{k}}^{\prime \prime }|$，第二项代表电场在介质中的振荡，可以发现相位传播方向为${\text{k}}^{\prime }$，相速度为$V_{\varphi }=w/|{\text{k}}^{\prime }|$。

用Maxwell方程推导平面波的性质
我们比较感兴趣的问题是平面波在LIH介质中的传播规律，所以假设在LIH介质中不存在自由电荷与自由电荷密度，即${\rho }_{free}=0,{\text{J}}_{free}=0$，下面用Maxwell方程推导平面波在LIH介质中传播的规律。

Maxwell 1：对于平面波，$\text{D}={\text{D}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)}$，其中${\text{D}}_0={ϵ}_0{ϵ}_r{\text{E}}_0$
$$\nabla \cdot \text{D}={\rho }_{free}=0\Rightarrow i\text{k}\cdot {\text{D}}_0=0\Rightarrow \text{k}\cdot {\text{E}}_0=0$$

也就是说$\text{k}$与${\text{E}}_0$是垂直的；代入它们的复数形式，
$$\begin{gathered} ({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })\cdot ({\text{E}}_0^{\prime }+i{\text{E}}_0^{\prime \prime })=0 \\ ({\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime }-{\text{k}}^{\prime \prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime \prime })+i({\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime \prime }+{\text{k}}^{\prime \prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime })=0 \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime }-{\text{k}}^{\prime \prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime \prime }=0\\ {\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime \prime }+{\text{k}}^{\prime \prime }\cdot {\text{E}}_0^{\prime }=0\end{array} \end{gathered}$$

Maxwell 4：对于平面波，$\text{B}={\text{B}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)}$，其中${\text{B}}_0={\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0$
$$\nabla \cdot \text{B}=0\Rightarrow i\text{k}\cdot {\text{B}}_0=0\Rightarrow \text{k}\cdot {\text{H}}_0=0$$

综合这两个结果，可以发现$\text{k}$与${\text{E}}_0$与${\text{H}}_0$都是正交的。

Maxwell 3：
$$\begin{gathered} \nabla \times \text{E}=-\frac{\partial \text{B}}{\partial t} \\ i\text{k}\times {\text{E}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)}=iw{\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0{e}^{i(\text{k}\cdot \text{r}-wt)} \\ \text{k}\times {\text{E}}_0=w{\mu }_0{\mu }_r{\text{H}}_0 \end{gathered}$$

结合上面三个结果可以发现$(\text{k},{\text{E}}_0,{\text{H}}_0)$互相正交，并且他们之间的方向可以用右手螺旋定则确定。

Maxwell 4：
$$\begin{gathered} \nabla \times \text{H}={\text{J}}_{free}+\frac{\partial \text{D}}{\partial t} \\ i\text{k}\times {\text{H}}_0=-iw{ϵ}_0{ϵ}_r{\text{E}}_0 \\ \text{k}\times {\text{H}}_0=-w{ϵ}_0{ϵ}_r{\text{E}}_0 \end{gathered}$$

下面计算
$$\begin{gathered} \text{k}\times (\text{k}\times {\text{E}}_0)=w{\mu }_0{\mu }_r\text{k}\times {\text{H}}_0 \\ \text{k}\times (\text{k}\times {\text{E}}_0)=(\text{k}\cdot {\text{E}}_0)\text{k}-k^2{\text{E}}_0=-k^2{\text{E}}_0 \\ w{\mu }_0{\mu }_r\text{k}\times {\text{H}}_0=w{\mu }_0{\mu }_r(-w{ϵ}_0{ϵ}_r{\text{E}}_0)=-w^2{ϵ}_0{ϵ}_r{\mu }_0{\mu }_r{\text{E}}_0 \\ -k^2{\text{E}}_0=-w^2{ϵ}_0{ϵ}_r{\mu }_0{\mu }_r{\text{E}}_0\Rightarrow k^2=w^2{ϵ}_0{ϵ}_r{\mu }_0{\mu }_r=\frac{w^2}{c^2}{ϵ}_r{\mu }_r \end{gathered}$$

最后这个等式被称为dispersion relation，其中
$$k^2=({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })\cdot ({\text{k}}^{\prime }+i{\text{k}}^{\prime \prime })=(k^{\prime 2}-k^{\prime \prime 2})+i(2{\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{k}}^{\prime \prime })$$

所以
$$\{\begin{array}{l}{k}^{\prime 2}-k^{\prime \prime 2}=\frac{w^2}{c^2}Re[{ϵ}_r{\mu }_r]\\ {\text{k}}^{\prime }\cdot {\text{k}}^{\prime \prime }=\frac{w^2}{2c^2}Im[{ϵ}_r{\mu }_r]\end{array}$$

• 如果$Im[{ϵ}_r]=Im[{\mu }_r]=0$，则${\text{k}}^{\prime }\perp {\text{k}}^{\prime \prime }$，此时若$k^{\prime \prime }=0$，则平面波在介质中强度不会衰减并且$k^{\prime 2}=\frac{w^2}{c^2}Re[{ϵ}_r{\mu }_r]>0$，称这样的平面波为homogeneous plane wave，它只会在满足${\mu }_r,{ϵ}_r>0$的介质中出现；如果$k^{\prime \prime }\ne 0$，称这样的平面波为evanescent plane wave，这是inhomohegeous plave wave的一种特例（满足${\text{k}}^{\prime }\perp {\text{k}}^{\prime \prime }$的inhomohegeous plave wave）
• 如果$Im[{ϵ}_r]=Im[{\mu }_r]=0$不成立，称这样的平面波为inhomohegeous plave wave

平面波的能量

平面波的Poynting矢量为

上式中，最后一个等号在一个周期内的积分为0，所以Poynting矢量的的time-average为
$$⟨\text{S}(\text{r},t)⟩=\frac{1}{2}Re[\text{E}(\text{r})\times {\text{H}}^{\ast }(\text{r})]$$

化简以后的表达式为

这是LIH介质中平面波Poynting矢量的一般公式，对于homogeneous plane wave，

总结

以上是生活随笔为你收集整理的UA OPTI501 电磁波 LIH介质中的平面波1 平面波的性质的全部内容，希望文章能够帮你解决所遇到的问题。

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